新人教版九上《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系张集一中陈建河1.一元二次方程的解法复习提问2.求根公式方程x1x2x1+x2x1∙x2x2-3x+2=0X2-2x-3=0X2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+x2，x1•x2与系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0的两根为x1,,x2qxxpxx21212132-132-31454方程x1x2xx21xx21.01692xx01432xx02732xx31313291372343131-23732x1+x2，x1∙x2与系数有什么规律?372猜想：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：x1+x2和x1.x2与系数a，b，c的关系.abxx21acxx21042acbx1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2ax1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2ax1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2a=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2xx21xx21.abac任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+X2=,X1·X2=ab-ac（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0韦达（1540－1603）韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。一、直接运用根与系数的关系例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.知识源于悟222415)3(0973)2(0156)1(xxxxxx在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写.ab例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：①2310xx22410xx②123xx121xx122xx解：①②我能行1原方程可化为：02122xx2121xx二次项不是1，可以先把它化为11625x35[()2]75k∴k357答：方程的另一个根是，的值是。2560xkxk例2、已知方程求它的另一个根及的一个根是2的值。26055kxx原方程可化为：想一想，还有其他方法吗？还可以把代入方程的两边，求出2xk解：，那么1x设方程的另一根是135x∴3()255k又∵我能行21232xx1212xx22310xx例3、不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。12,xx设方程的两根是，那么①②解：我能行32221212212)(xxxxxx2122122212)(xxxxxx413)21(2)23(22221xx21212111xxxxxx)21()23(3二、求关于两根的对称式或代数式的值2221)1(xx例2、设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.21,xx03422xx)1)(1)(3(21xx221221)4(xxxx2112)5(xxxx221))(6(xx2111)2(xx关于两根几种常见的求值2111.4xx2121xxxx)1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221.5xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.6xx221)(xx212214)(xxxx212xx2221.1xx221)(xx221).(2xx221)(xx214xx小结一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0三、构造新方程例3、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.变式：且二次项系数为5三、构造新方程例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是方程（1）的两根的平方.求关于y的方程.的倒数.的相反数.比都大2.例5、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？三、构造新方程练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1，4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2，-3。则这个一元二次方程为__________________三、构造新方程x2-5x+6=0四、求方程中的待定系数例6、如果－1是方程的一个根，则另一个根是____ｍ=____。（还有其他解法吗？)022mxx-3练习：已知3是方程的一根，求m及另一根230xmx例7、方程的两根同为正数，求p、q的取值范围.02qpxx四、求方程中的待定系数变式:方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知,0)1(442mmm△=0121mmxx即m0m-10∴0m1)0(0122mmmxmx四、求方程中的待定系数一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0例8、已知方程的两个实数根是且求k的值。022kkxx2,1xx42221xx四、求方程中的待定系数注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0小结一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是解法(一):设两数分别为x,y则:1yx2yx{解得:x=2y=－1{或ｘ＝－1y=2{解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1,221aa∴两数为2,－１*已知两个数的和与积，求两数*求未知系数的取值范围*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根.(2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析:(1)列出△的代数式,证其恒大于零(2)(x1-1)(x2-1)0解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+360∴方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得:解得:1212127939(1)(1)0mxxmxxxx132m当时方程的一根大于1,另一根小于1132m*1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根?*2.已知:x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根,问x1,x2能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由.***题9在△ABC中a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,且c=,若关于x的方程有两个相等的实数根,又方程的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.350)35(2)35(2baxxb0sin5)sin10(22AxAx五综合caAsin规定：1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x221k23k∴12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。由根与系数的关系得x1+x2=x1x2=