《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题

12020/4/1412第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题3第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题一：概述mjijiijTyyaAyyf1,实二次型：半负定负定，半正定正定，0000ffff1.问题的提法：设线性系统的状态方程和输出方程为：)()()(),()()()()(txtctytutBtxtAtx其中，x(t)是n维状态向量，u(t)是p维控制向量，y(t)是q维输出向量，u(t)不受约束。A(t),B(t),C(t)是分段的时间连续函数4Yr(t)表示预期输出，e(t)为广义误差。寻求最优控制u*(t)，使下面二次型性能指标最小。dttutRtutetQtetttFeteJTTfffT)]()()()()()([21)()(210其中，F是q×q半正定常数矩阵Q(t)是q×q半正定矩阵R(t)是p×p正定矩阵。要存在）（)(1tR2.性能指标J用以衡量误差大小)()()(211tetQteT第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题5的总误差表示fTfttQedtett0021小用以衡量控制功率的大)()()(212tutRtuT表示控制能量RudtuttTf0正定且均为时变半正定，加权矩阵)()()(),(3tRtQtRtQFtetFetefffT时，特别要求终端固定，即求突出对终端的误差的要0)()()(214第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题63.分类1调节器问题.yr(t)=0①状态调节器以零状态为平衡状态)()()(21)()()(21txtQtXtetQteTT②输出调节器)()()(21)()()(21tytQtytetQteTT输出调节器可转化为状态调节器)()()(txtcty第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题72伺服系统（随动系统）)()()(tytyter以不大的能量是系统输出跟随给定的输出而变化。二.状态调节器1.已知00)(),()()()()(xtxtVtBtxtAtxdttutRtutxtQtxtttFxtxTJTTfff)]()()()()()([21)()(210寻求u*(t),使J最小。X(tf)自由，tf有限第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题8求解：①构造哈密顿函数：fFHTBuAxRuUQxXHTTTT2121②协调方程：xHTTTTTAQxAQxQx)()(2121③横截条件)(]21[)()(fTfftxFXxtxt则)()(fftFxt第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题9④控制方程：0uH)()()()(*0)(01221ttBtRtuRuHBRtuBRuuHTTT则⑤状态方程TAQxxxABBRQAxAQxBBRAxxTTTT11],[)()(),()()(0000ftttttxttttx第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题10nntt22),(0的状态转移矩阵],[0ffttttt时，又当都可作为初始时刻分块],[)()(),(),(),(),()()(022122111ffffffftttttxttttttttttx③②①121122211211)()()()()()()(xFtFxttxtttxtxfff又由横截条件：)()(fftFXt则②=③xFFFxFx)()2111122212122221（第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题11)()()()(211111222txFFt可以证明11222)(F存在因此，)()(tXt与呈线性关系，可表示为)()()(txtPt则)()()()()(*1txtPtBtRtuT实际中不用上式来求P(t)，过于复杂，采用如下方法;2.黎卡提矩阵微分方程考察)()()(txtPt两边对t求导)()()()()(txtPtxtPt第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题12将状态方程带去上式，则)()()()()()()()()()()()(1txtPtBtRtBtPtxtAtPtxtPtT又协态方程:)()()()()(txtPtAtxtQT最后可得黎卡提矩阵微分方程如下：)()()()()()()()()()()(01tPtBtRtBtPtQtPtAtAtPtPTT)()()(ffftxtPt又横截条件)()(fftFxt则FtPf)(——黎卡提微分方程边界条件第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题13说明：1黎氏方程的解存在且唯一(常微分方程解的存在性唯一性定理)2P(t)是对称阵)()(tPtPT3P(t)≥0J≥00)(,0)(21*0)()(21*000tPxtPxJtxtPxJTT则第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题143.结构00111)(),()]()()()()([)(*)()()()()()()()()()()(*xtxtxtPtBtRtBtAtxtPtBtRtktxtktxtPtBtRtuTTT——反馈增益矩阵上式确定最优轨线第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题154.说明①求J*考察二次型)()()(txtPtxTxPxxPxPxxtxtPtxdtdTTTT)]()()([将状态方程与黎卡提方程带入上式，之后两边对t作t0→tf积分，移项，配方法][][21)()()(2111000PxBRURPxBRUtxtPtxJTTTT得最小时，时，即当JPXBRtuPXBRuTT11)(*0则000)(21*XtPXJT第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题16②本问题最优控制的解是存在的且唯一的a.存在性)()(*1tPxBRtuTP唯一存在b.唯一性00*22*11*2*1)()]([)]([)()(11xtxxtPxBRAxxtPxBRAxtutuTT和设（微分方程解的存在性和唯一性定理）*2*1*2*1xxxx即第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题175.总结状态调节器控制规律)()()()()(*1txtPtBtRtuT其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件0)()()()()()()()()()()()(1tPtBtRtBtPtQtPtAtAtPtPFtPTTf最优状态x*(t)则是下列线性微分方程解001)(),()]()()()()([)(*xtxtxtPtBtRtBtAtxT在最优控制情况下，系统性能指标具有最小值000)(21*xtPxJT第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题18例：设有一阶系统0)0(,21xxuxxdtutxtxJf])(2[01021)(5222性能指标求最优控制u*(t)解：0)0(,1010121xxtFBAf，，，①)()()(*1txPtPxBRtuT②③带入黎氏方程得)143.155.0(5.15.0)(210)10(222cthtPdtPPdPPPPP第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题19④状态方程的解双曲余切xxxxeeeecth（将定常系统变为了时变系统）此时tf有限6.定常情况下，tf→∞时的状态调节器①结论：设有定常线性可控系统。0)0(),()()(xxtButAxtx二次型性能指标dttRututQxtxJTT)]()()()([021第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题20u(t)不受约束，Q、R都是正定常数矩阵则，最优控制存在。且可唯一的表示为)()(*1txPBRtuT其中P是n×n正定常数矩阵，满足下列的非线性黎卡提矩阵代数方程01PBBRPQPAAPTT此时最优轨线x*(t)是下列线性是不变齐次方程的解01)0(),()()(xxtxPBBRAtxT第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题21采用最优控制规律时，系统的性能指标J取最小值J*000)(21*xtPxJT说明：1系统是可控的2系统是定常的（前提条件）②无限时间状态调节器是大范围渐进稳定的考察二次型)(xVxPxT0)(0)(0)(0)(1txxVtxxV第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题22,)(2xPxxPxdtxdVTT将状态方程带入时当0),()]()[()(1xtxPBBRPQtxdtxdVTT时当0,0)(xdtxdV)(lim3xVx三.输出调节器1.问题。设有线性系统).()()()()(tutBtxtAtx第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题23),()()(txtuty其中x(t)为n维状态向量，y(t)为q维输出向量，u(t)为p维控制矩阵，u(t)不受约束。假定系统完全能观，寻找最优控制u*(t),使性能指标dttutRtutytQtytttFytyJTTfffT)]()()()()()([21)()(210最小，其中F和Q(t)是半是正定对称矩阵，R(t)正定对称阵2.分析dttutRtutytQtytttFytyJTTfffT)]()()()()()([21)()(210第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题24将)()()(txtCty代入则dttutRtutytCtQtCtxtttFCtCtxJTTTfffTfT)]()()()()()()()([21)()()(2101对称阵)()()()]()()([)()()]()([tCtQtCtCtQtCtFCtCtFCtCTTTffTTffT2半正定阵0)()()(tytQtyT对所有q维向量y(t)都成立第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题25由)()()(txtCty0)()()()()(tytCtQtCtxTT对所有q维向量C(t)x(t)都成立由于系统完全能观0)()()()()(tytCtQtCtxTT对所有x(t)都成立3.输出调节器控制规律)()()()()(*1txtPtBtRtuT其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件0)()()()()()()()()()()()()(1tPtBtRtBtPtCtQtCtPtAtAtPtPTTT第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题26)()()(ffftFCtCTtP最优轨线满足方程001)()()]()()()()([)(xtxtxtPtBtRtBtAtxT最优性能指标为000)(21*xtPxJT结构图)()(1tBtRT)()()()()(tutBtxtAtx)(tC)(tP第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题27最优控制输出调节器仍然是状态反馈，不是输出反馈，需要所有的状态变量4.线性定常系统当tf→∞时的输出调节器设有线性系统)()()()()(tCxtytButAxtx系统完全能控完全能观，性能指标.)]()()()([021dttRutuTtQytyJT第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制