北师大九年级数学下册知识点总结

第1页图1图3图4九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．．，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan;①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。2.正弦．．：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin;3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos;锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．．(或坡比．．)。用字母i表示，即Alhitan5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。7.同角的三角函数间的关系：①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)②平方关系：③商数关系：30º45º60ºsinα212223cosα232221tanα3313图2hi=h:llABC第2页8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。9.直角三角形变焦关系：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式:cchab2121S(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR2110.三角函数的应用11.利用三角函数测高第3页第二章二次函数1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成cbxaxy2(a、b、c是常数,a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．．．．。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。2.图像性质：(1)二次函数y＝ax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线．．．。)0(2aaxy是二次函数cbxaxy2的特例，此时常数b=c=0.（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。①函数的取值范围是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。④函数的增减性：A、当a＞0时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当a＜0时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。（3）二次函数caxy2的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数caxy2的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。（4）二次函数cbxaxy2的图象：是以直线abx2为对称轴，顶点坐标为（ab2，abac442）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。（5）二次函数cbxaxy2的图象与y＝ax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）（6）二次函数khxay2)(的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）（7）二次函数cbxaxy2的性质：二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的①对称轴：x=ab2②顶点坐标：（ab2，abac442）③增减性：若a0，当xab2时，y随x的增大而减小．．．．．；当xab2时，y随x的增大而增大。．．．．．．第4页若a0，则当xab2时，y随x的增大而增大．．．．．；当xab2时，y随x的增大而减小。．．．．．．④最值：若a0，则当x=ab2时，abacy442最小；若a0，则当x=ab2时，abacy442最大3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）（1）一般式：cbxaxy2（2）顶点式：khxay2)(（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函数的应用：几何方面应用题5.二次函数与一元二次方程（1）二次函数cbxaxy2的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一二次方程02cbxax的两个实数根（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：acb420===抛物线与x轴有2个交点；acb42=0===抛物线与x轴有1个交点；acb420===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；（3）当acb420时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：化简后即为：)04(||4||22acbaacbAB这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第5页第三章圆1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心．．；线段OA叫做半径．．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心．．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。3.圆的对称性:（1)与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。直径：经过圆心的弦叫做直径．．。②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。5.圆周角和圆心角的关系:（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；（3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;6确定圆的条件:第6页（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.（2）经过三点作圆要分两种情况:经过同一直线上的三点不能作圆.经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.（尺规作图）7.三角形的外接圆、三角形的外心。(1)三角形的外接圆:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.8.直线与圆的位置关系(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.(4)直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①dr===直线L和⊙O相交.②d=r===直线L和⊙O相切.③dr===直线L和⊙O相离.(5）切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.(6）三角形的内切圆、内心.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.(三角形的内切圆作法尺规作图)9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.10.圆内接正多