十一章第一节欧几里得空间上的基本定理

第十一章:Euclid空间的极限和连续第一节：Euclid空间的基本定理主要内容1.nEuclidnEuclid维空间及相关概念维空间,两点之间的距离,点的邻域,点列的极限,点集的相关概念,点集的一些性质2.Euclid空间的基本定理Cantor闭区域套定理,Bolzano-Wierstrass定理,Cauchy收敛原理,Herne-Borel定理3.三个等价命题S是有界闭集S是紧集S的任意无限子集在S中必有聚点.（1）n维空间及物理意义实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应R平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)2R数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)3R推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为.nR一、Eucid空间点集相关概念12121|(,,,),,1,2,,.2(,,,)0(0,0,,0).3().nninnninRRRRxxxxxxRinRxxxxxxiRRRRRnRDescartes注笛卡尔集注中的元素也称向量或点称为的第个坐标中的零元素记为注也称为个的笛卡尔积（3）Euclid空间在n维空间Rn上定义加法和数乘运算：（2）向量空间),,,,(),,,(),,,,(),,,(),,,(212122112121nnnnnnxxxxxxxyxyxyxyyyxxxyx则Rn成为向量空间。在n维向量空间Rn上定义内积运算：.,12211niiinnyxyxyxyxyx则Rn成为Euclid空间。其中内积有如下性质：(i)正定性：x,x≥0,而x,x=0当且仅当x=0;(ii)对称性:x,y=y,x;(iii)线性性:ax+by,z=ax,z+by,z;(iv)Schwarz不等式:x,y2≤x,xy,y.（4）Euclid空间中的距离定义：.,),(.,||||)(0)()()(||),(),,,(),,,(2222122222112121yxyxyxdxxxxxxEuclidxxyxyxyxyxyxdyyyyxxxxEuclidnnnnn范数的模长的距离也叫到点的距离定义为和空间中的两点(5)距离有下面的性质:(i)正定性:|x-y|≥0,|x-y|=0当且仅当x=y;(ii)对称性:|x-y|=|y-x|;(iii)三角不等式:|x-z|≤|x-y|+|x-z|;一、平面点集R中邻域。且是两个实数与设0,a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径(,)(,){}OaUaxxa的称为点数集aaxx}{,邻域(,)Oa记作(,){}Oaxaxa),(aaxaaa设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）R2邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx.)()(0|),()(20200yyxxyxPU°点的去心邻域定义为：平面点集：(i)全平面:2R(,)|,.(1)xyxy222(ii)(,).Cxyxyr圆:(2)(iii)(,),,Sxyaxbcyd矩形:(3)00(iv)(,):Axy点的邻域00(,)||,||()xyxxyy与方形.[,][,].Sabcd也常记作：22200(,)()()()xyxxyy圆形图10–1CSxxyyOOabcdr(a)圆C(b)矩形SAA图10–2xxyyOO(a)圆邻域(b)方邻域设),,,(210naaaP是nR平面上的一个点，是某一正数，与点),,(10naaP距离小于的点),,,(21nxxxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，Rn中的邻域),(0PU||0PPP.)(...)(|),...,,(221121nnnaxaxxxx:)(00PUP的去心邻域点°.)(...)(0|),...,()(221110nnnoaxaxxxPURn中点列收敛概念:定义:设{xk}是Rn中的点列,若存在Rn中的点a,使得对于任意的0||,kxakKlimkkxa,存在正整数K,成立,则称{xk}收敛于a或者a是{xk}的极限.记为定理:的充分必要条件是Limk→∞xik=ai.limkkxa1212{},,,,,,,,nkkkkknnRxaxxxxaaaa设中的点列和点且定义：设S是Rn上的点集，如果存在正数M，使得对任意x∈S,有||x||≤M,则称S是有界集。否则称为无界点集.}0|),{(yxyx有界；无界．例如，}41|),{(22yxyxxyo（2）区域的为则称，的某一邻域个点．如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集，设EPEPUPPE)(.EE的内点属于EP为的点都是内点，则称如果点集EE}41),{(221yxyxE例如，即为开集．内点.内点：开集：开集.的为），则称，也可以不属于属于本身可以点的点点，也有不属于的于的任一个邻域内既有属如果点EPEEPEEP(EP的边界．的边界点的全体称为EE是，则称开集于都属起来，且该折线上的点连结任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDD边界点：边界点.连通：连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点,也可能不是聚点；}10|),{(22yxyx例如，(0,0)既是边界点也是聚点．若在x的一个邻域，只有x∈E，则称x是E的孤立点。（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．点x是E的聚点的充分必要条件是存在E的点列xn,xn≠x,且xn的极限等于x.EEEEEEEEEEEEEEo记号：对于Euclid空间的点集：表示的所有内点的集合称为的内部；表示的所有边界点的集合称为的边界；表示的所有聚点的集合称为的导集；表示称为的闭包。2222222222222RS,|14,S,|14;E,|4,|1E,|14E,|14xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyo例：在中，则有；；。开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo闭区域：EEEE如果包含了它的所有聚点，即，称是闭集。规定空集合是开集也是闭集。例：证明：邻域是开集；n22i=1n22i=1,1,2,,(),1,2,,()iiiiiiiinxbinnxarnxbinnxarii开集,闭集的例子：维开矩形：(x,y)|a维开球：(x,y)|维闭矩形：(x,y)|a维闭球：(x,y)|EREon例：设是的集合，证明E是开集合，是闭集合。例：证明:对任何2R,SS恒为闭集.证如图所示,设0xS为的任一聚点，欲证（即亦为S0xS的界0x点）.为此0,由聚点定义，00(;).(;),UxSyUxS中有的无穷个点取SS0x0(;)Ux(;)Uyyy0(;)(;),UyUx再由为界点的定义,在的点.由此推知在内既有SS(;)Uy的点,又有非S0x0xS的任意性,为的界点,即,也就证得S为闭集．注类似地可以证明:对任何点集2R,SS导集亦恒为闭集.SS0(;)Ux内既有的点,又有非的点.所以,由,()sup(,)ABEdiamEdAB点集E的直径的定义：对于一个集合E，按照上面的方式定义直径是合理的，因为当E是圆盘时，diam(E)=直径。点集的一些性质:(1)x是S的聚点的充分必要条件是:存在S的点列{xk|xk∈S,xk≠x},使得Limk→∞xk=x.(2)S为闭集的充分必要条件为Sc是开集.(3)任意组开集的并是开集;(4)任意组闭集的交是闭集;(5)有限个开集的交是开集;(6)有限个闭集的并是闭集;acacaaacacaaSSbSSa.)(),)()DeMorgan公式:设{Sa}是(有限或者无限)Rn中的子集合,则二、Euclid空间基本定理,...;2,1]},,[],{[}{kdcbakkkkk（1）闭矩形套定理11.1.6:设是一列矩形套，如果122(1);(2)()()()0(),kkkkkkkdiambadck则存在唯一点a∈每个△k.1321kkSSSSS（2）Cantor闭区域套定理11.1.6':设是一列闭区域套，如果;0)(lim)1(kkSdiam则存在唯一点a∈每个Sk.（3）一个应用及其推广：Bolzano-Weierstrass定理11.1.7：定理：Rn上的有界点列{xn}必有收敛子列。证明：推论：Rn上的有界无限点集至少有一个聚点（聚点定理）。Cauchy收敛原理11.1.8：定义：Rn中的点列{xn}满足：对于任意的∈0,存在正整数K，使得对任意的k,lK,成立|xl-xk|∈，称{xk}为基本列（或者Cauchy列）。定理：Rn中的点列{Pn}收敛的充分必要条件是：{Pn}是基本列。证（必要性）0lim,,0,kkPP设则由定义N,,NnlN当时,恒有00(,),(,).22kldPPdPP应用三角形不等式,立刻得到00(,)(,)(,).klkldPPdPPdPP||(,),lkklxxdPP||(,).llklyydPP这说明{xn}和{yn}都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛.00lim,lim,kkkkxxyy设从而由点列收敛概念,推知{Pn}收敛于点P0(x0,y0).kP(,),P0,,k,lkkkxyNN充分性：不妨设由于是基本列，当时Heine-Borel定理11.1.9（紧集判断定理）：定义：设S是Rn的一个子集，如果Rn中的一组开集{Ua|a∈A}满足∪a∈AUa包含S，称{Ua}是S的一个开覆盖。如果S的每个开覆盖{Ua}中总存在一个有限的子覆盖，称S是紧集。定理：S是紧集的充分必要条件是：S是有界闭集。三个等价结论11.1.10：定理：设E是Rn的子集合，那么以下三个命题等价（1）E是有界闭集合；（2）E是紧集合；（3）E的任意无限子集在E中必有聚点。其中(1)和（2）的等价性由Heine-Borel定理给出。qE证(1)→(3)设Eq是E的无限子集，推论11.1.1得qE必有聚点.又因的聚点亦为E的聚点,而E是闭集,所以该聚点必属于E．(3)→(1)先证E为有界集.倘若E为无界集,则存在各项互异的点列{},kPE使得||(,),1,2,.kkPdOPkk易见{}kP这个子集无聚点,这与已知条件相矛盾.再证E为闭集.为此设P0为E的任一聚点,由聚点的等价定义,存在各项互异的点列使{},kPE0lim.kkPP{