数学物理方法复习

复变函数1.复数⑴定义：大小的不能比较大小⑵三种几何表示方法：点，向量，复球面⑶数学表示法①②③⑶复数的运算Z的n次方的计算22cossin/cossinixxyyarctgyxrxyzZiZe复数的三角形式和指数形式：（1）复数的三角形式用极坐标、代替直角坐标，来表示复数（2）复数的指数形式其中叫做复数的模，叫做复数的副角。1212121212121212122112112122112222222222()()()()()()zzxxiyyzzxxiyyzzxxyyixyxyzxxyyxyxyizxyxy复数的运算：31(1)(2)1(3)1iZeii把下列复数用代数式、三角式和指数式表示出来。33332233322333()(cossin)()(3)(3)(cos3sin3),,(/)izzxiyizxiyxxyixyyzixyarctgyxze（1）代数式：令三角式：指数式：1(12)(2)cos1sin1cos(12)sin(12)(0,1,2)iikezeiezekikzeek代数式：三角式：指数式：3221(3)133cos2sin222(0,1,2)ikiizizkikzek代数式：三角式：指数式：3/5(1)(2)sin5ii计算下列数值。i(+2n)2i(+2n)1(+2n)22i=e0,1,2eiinie因为：，所以：复变函数3.复变函数一个复变函数是一个二元实变函数的有序组合可导的必要与充要条件必要条件：四个偏导数存在：满足C-R条件：充分必要条件：1.四个偏导数连续2.满足C-R条件解析函数的概念定义：解析的充要条件：该区域内可导的充要条件处处成立函数解析与可导、连续、极限的关系解析函数的性质1.C-R：2.判断一个函数是否解析(1)sin()(2)sin()(3)ln(1)aibix计算下列各式数值()()(1)sin()sin()2(cossin)(cossin)2sinsincoscos2sincos2iaibiaibbbbbbbbbbbaibeeaibieaiaeaiaieaeaieaeaeeaieea()()(2)sin()sin()22(3)ln(1)ln(1)ln1220,1,2iixiixxxixeeeeixiiikikksin2z已知方程：，计算Zsin22423ln23ln23lnln23(/22)iZiZiZiZiZeezieeieiiziiik解：即解得：ln23(/22)(/22)ln23ikziki(1)sin()(2)sin()(3)ln(1)aibix计算下列各式数值()()(1)sin()sin()2(cossin)(cossin)2sinsincoscos2sincos2iaibiaibbbbbbbbbbbaibeeaibieaiaeaiaieaeaieaeaeeaieea()()(2)sin()sin()22(3)ln(1)ln(1)ln1220,1,2iixiixxxixeeeeixiiikikksin2z已知方程：，计算Zsin22423ln23ln23lnln23(/22)iZiZiZiZiZeezieeieiiziiik解：即解得：ln23(/22)(/22)ln23ikziki22(,)(,)22222222uxyxyvxyuuxyxyvvyxxydvydxxdyvydxxdyc例一求解析函数的虚部解：因为：，所以：，即Y(X,Y)0(X,0)X既然积分与路径无关，为方便计算，取如图所示路径积分可得：(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,0)222222xxyxxyxvydxxdyydxxdycxdycyxcY(X,Y)0(X,0)X2,y2例三：已知解析函数f（Z）的虚部v(x,y)=-x+x求其实部及整个解析函数。2,2cos(/2)1sin(/2),cos(/2)221cos(/2),sin(/2)22yvvCRuu2已知解析函数f（Z）的虚部v(x,y)=-x+x求其实部及整个解析函数。解：在极坐标系下表示：v根据条件，可得：1cos(/2)sin(/2)222cos(/2)2cos(/2)()2cos(/2)2cos(/2)2dudddcfzcizc即：所以：u()sin()sin,cos,sin,cos,sincos(cos)xxxxxxxxfzueyfzuueyeyxyCRvveyeyyxvvdvdxdyxyeydxeydydey已知某解析函数实部，求其虚部并完整表示整个函数。解：根据条件可得：即：cos()sin(cos)(cossin)xxxxxiyzveycfzeyieycieyiyicieeicieic所以：最后：2.复变函数的积分①C分段光滑②在线段C上连续1.定义式2.分解式2.复积分的基本性质1.2.3.复积分的基本性质4.5.复通区域的科西定理复积分的计算方法1.定义式2.分解式：3.极坐标法：积分曲线为圆周时4.科西定理：科西积分公式二.科西公式的推论高阶导数公式的说明1.2.3.围道积分计算总结1.科西定理：2.科西公式：3.科西导数公式4.综合式（复连通区域导数公式）如：cnzzdz10)(例：计算其中为以为中心，为半径的正方向，为整数C0zrn解：的方程为C200irezz所以：2020)1(110)(inncnininedriderirezzdz0)]sin()[cos()(,02,020100dninrizzdznizzdznncnc时当时当结论非常重要，必须记住：其特点是与积分路线的圆周中心及半径无关．rzznnnizzdz00002)(10dzzcC例２：试沿区域内的圆弧计算的值0)(0)(zRzIem1zdzzzi11)1ln(2)]1[ln(21,1)1ln(:zzz函数为它的一个原在所设区域内解析函数解iizdzzzii82ln2ln8332]2ln)1([ln21)1(ln211)1ln(2222112所以例：计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线．dzzzz2121z,0.,1012:1212zccczzzzz只含奇点也互不相交的正向圆周内作两个互不包含包含了这两个奇点在而外处处解析和在复平面内除解iiidzzdzzdzzdzzdzzzdzzzdzzzzdzzzzdzzzzzcccccccccc4220111111)111()111(121212,1221211122222则只含奇点柯西定理的应用由的积分之值，证明:证明:因为被积函数的奇点在积分围道外，故在内解析，因而有:||12zdzz2012cos054cosd2z||1z||1z12z||102zdzz例：求下列积分（沿圆周正向）的值dzzzdzzzizz)3211()2(sin21)1(44iiidzzdzzdzzzziidzzzizzzzzzzz6221232)1(1)3211()2(0sin221sin21,44sin)1(:44404由定理上解析的内部及在解柯西公式应用应用举例例1问题：计算回路积分•分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1•解：由柯西公式2||1coshzdzzz)(2)(afidzazzfL1cosh2)1cosh(21cosh2||iidzzzz柯西公式应用已知,求的值2||3371fZdZ'1fi解：当|x|3时，由Cauchy公式有：)173(217323||2zzizx)173(2)(2zzizf)76(2)(zizf幂级数收敛半径例1.求解泰勒级数设f(z)在区域D解析，则在该区域内任意一点z=b的领域含于D内，f(z)可以展开为唯一的幂级数：b基本函数的泰勒展开例1.例2.例3.泰勒级数罗朗级数上一致收敛罗朗级数C展开方法例4（1）以Z=0为中心进行罗朗展开（2）在环域∣Z-1∣＞1中展开例5解析函数的孤立奇点1.孤立奇点概念孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类例2孤立奇点的分类留数定理在D内将孤立奇点分别用互不包含且互不相交的围线Ck围绕起来，而围线L包围了所有的奇点，应用复连通区域的科西积分定理得：→→留数定理无限远点的留数留数定理留数的计算方法留数的计算方法留数的计算实例例2.留数的计算实例留数的计算实例例3.留数的计算实例①利用留数计算围道积分例42.用留数定理计算实积分例4类型二：★★：此处Zk为上半平面奇点，不包括下半平面奇点例5傅里叶变换12：数学模型的建立和边界条件定解条件定解条件例2.规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值定解条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值例3.物体冷却时放出的热量-与物体和外界的温度差（u-u0）成正比，其中u0为周围介质的温度。定解条件行波法行波法解题思想：（也叫通解法，并不仅仅局限于求解波动方程）先求出通解代入定解条件求出定解不同边界条件下的本征值问题形式2解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。令(,)()()uxtXxTt带入方程：2()''()''()()XxTtaXxTt2''()''()()()XxTtXxaTt令2''()()0''()()0XxXxTtaTt带入边界条件(0)()0,()()0XTtXlTt(0)0,()0XXl22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxlttxutulttuxuxxxxlt1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动''()()0(0)0,()0XxXxXXl分情况讨论：01）()xxXxAeBe00llABAeBe00ABX02）()XxAxB00ABX()cossinXxAxBx0sin0ABl03）令，为非零实数2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)()sin(1,2,3,)nnnnnlnXxBxnl222nl