【创新设计】2015年高考数学(人教A版-理)一轮复习配套讲义：第3篇-第3讲-三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质[最新考纲]1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在－π2，π2上的性质.知识梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ无辨析感悟1．周期性的判断(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin30°知，120°是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(2)函数y＝tan2x＋π3的最小正周期为π2.(√)2．判断奇偶性与对称性(3)函数y＝sin2x＋3π2是奇函数．(×)(4)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×)3．求三角函数的单调区间(5)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin2x的单调增区间都是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．(×)(6)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(×)4．求三角函数的最值(7)存在x∈R，使得2sinx＝3.(×)(8)(教材习题改编)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.(√)[感悟·提升]1．一点提醒求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．2．三个防范一是函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．二是对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数，如(6)．三是函数y＝sinx与y＝cosx的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sinx＝32，如(7).学生用书第54页考点一三角函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为________．(2)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析(1)法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.法三sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.(2)y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sin2x－sinx＋1，令sinx＝t∈－12，1，∴y＝2t2－t＋1＝2t－142＋78，t∈－12，1，∴ymin＝78，ymax＝2.答案(1)x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z(2)782规律方法(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求．②把形如y＝asinx＋bcosx的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．【训练1】(2014·广州模拟)已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x，求f(x)的定义域和值域．解由cos2x≠0得2x≠kπ＋π2，k∈Z，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以f(x)的定义域为x|x∈R，且x≠kπ2＋π4，k∈Z.f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝6cos4x＋5－5cos2x－42cos2x－1＝2cos2x－13cos2x－12cos2x－1＝3cos2x－1.所以f(x)的值域为y|－1≤y＜12，或12＜y≤2.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】(1)已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论错误的是()．A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D．函数f(x)在区间0，π2上是增函数(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()．A.π6B.π4C.π3D.π2解析(1)f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝π4对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在0，π2上是增函数，D正确，故选C.(2)由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.答案(1)C(2)A规律方法(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为T＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．【训练2】(1)函数y＝2cos2x－π4－1是()．A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数(2)函数y＝2sin(3x＋φ)||φ＜π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.解析(1)y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π2＝sin2x为奇函数，T＝2π2＝π.(2)由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)，所以3×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，∴k＝0，故φ＝π4.答案(1)A(2)π4考点三三角函数的单调性【例3】(2014·临沂月考)设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．审题路线令(－2)×π8＋φ＝π2＋kπ，k∈Z⇒解得φ＝？又0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把f(x)＝sin(－2x＋φ)，化为f(x)＝－sin(2x－φ)⇒令g(x)＝sin(2x－φ)⇒求出g(x)的单调区间⇒利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间．解(1)令(－2)×π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ＋3π4，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4.(2)由(1)得f(x)＝sin－2x＋3π4＝－sin2x－3π4，令g(x)＝sin2x－3π4，由－π2＋2kπ≤2x－3π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k∈Z，即g(x)的单调增区间为π8＋kπ，5π8＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2x－3π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，得5π8＋kπ≤x≤9π8＋kπ，k∈Z，即g(x)的单调减区间为5π8＋kπ，9π8＋kπ(k∈Z)，故f(x)的单调增区间为5π8＋kπ，9π8＋kπ(k∈Z)；单调减区间为π8＋kπ，5π8＋kπ(k∈Z).学生用书第55页规律方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．【训练3】(2013·安徽卷)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．解(1)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．4．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．答题模板5——三角函数的最值(或值域)问题【典例】(12分)(2013·陕西卷)已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．[规范解答]f(x)＝cosx，－12·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x(2分)＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.(4分)(1)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(6分)(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.(8分)由正弦函数的性质，得当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(0)＝－12，当2x－π6＝5π6，即x＝π2时，fπ2＝12，∴f(x)的最小值为－12.(11分)因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.(12分)[反思感悟]求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值