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《数学模型》模拟试题1一、填空题（每题5分，满分20分）：1.设开始时的人口数为0x，时刻t的人口数为)(tx，若允许的最大人口数为mx，人口增长率由sxrxr)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为.2.设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为.3.一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为.4.设某种物资有两个产地21,AA，其产量分别为10、20，两个销地21,BB的销量相等均为15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为,a则最优运输方案与运价具有两个特点.二、分析判断题（每题10分，满分20分）：1.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。2.在文字教材4.1中我们给出了营养配餐问题的数学模型minZ=4x1+3x2s.t.0,)3(,4256)2(,4085)1(,5051021212121xxxxxxxx其中21,xx表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解Tx)6,2(*，试分析解决下述问题：（1）假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？（2）本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.三、计算题（每题20分，满分40分）：1.某公司自国外A厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口B1、B2、B3供选择，运费依次为20，40和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C1，C2和C3，运费为：B1到C1、C2、C3依次为70、40、60，B2到C1、C2、C3依次为30、20、40，B3到321,,CCC依次为40、10、50；进口后可经由两个城市D1、D2运抵目的地E，从C1、C2、C3到D1、D2的运费为10和40，60和30，30和30；从D1、D2到E的运费则为30和40.试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低.2.某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？四、综合应用题（本题满分20分）：试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型。提示：所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型。（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤。）《数学模型》模拟试题2一、填空题（每题5分，满分20分）：1.设开始时的人口数为0x，时刻t的人口数为)(tx，若人口增长率是常数r，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为.2.设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为.3.所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为.4.设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(tptQ而供给量函数是3600)1(35)(tptG，其中)(tp为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是.二、分析判断题（每题10分，满分20分）：1.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。2.某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？表1单位：元/件客户利润工厂1234123656362646867656263605960上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。三、计算题（每题20分，满分40分）：1.有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站.,,,,,,,,321321321GGGFFFEEE从A到321,,EEE的运价依次为3、8、7；从1E到21,FF的运价为4、3；从2E到321,,FFF的运价为2、8、4；从3E到32,FF的运价为7、6；从1F到21,GG的运价为10、12；从2F到321,,GGG的运价为13、5、7；从3F到32,GG的运价为6、8；从1G到CB,的运价为9、10；从2G到DCB,,的运价为5、10、15；从3G到DC,的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。2.试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：表2单位：百元/吨销地运价产地B1B2B3B4产量A1A2A3352947512691011201525销量10201515四、综合应用题（本题满分20分）：试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。（提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。）《数学模型》模拟试题3一、简答题(20分*2)1.试举出两个实例说明建立数学模型的必要性。包括实际问题的背景。建模的目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型等。2.从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：“一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决”。二、综合应用题（60分）试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。（提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。）《数学模型》模拟试题4A题：(60分)21世纪，各个大学都在扩招扩建，这样很多学校就有几个不同的校区。随着校区的增多，相应的管理成本，运行成本也增加。各个高校在几个校区的管理上也是费尽心思，但总存在各种各样的问题。同样，我们工商职业学院也存在同样的问题。现在已经有石桥铺校区和二郎校区，再加上正在建的合川校区。三个校区如何管理，如何运营？请你们根据我校实际情况，收集诸如交通费用、管理费用等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就学校在三个校区的管理成本、校车路线安排、各专业在三个校区如何分配进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，根据你们建模分析的结果，给学校有关部门写一份报告，提出具体建议。数学基础题：（40分）1、一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为)0(kk.假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为0h的雪堆在开始融化的1小时内，融化了其体积的6437.试求雪堆全部融化需要的时间.2、中国人民银行经过几次下调存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表：存期一年期二年期三年期五年期年利率%2.25%2.43%2.70%2.88%现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存一万元，以供6年后上大学使用。若此期间利率不变，请为其设计一种存款方案，使6年后所获收益最大.并求出最大收益.《数学模型》模拟试题5购房贷款问题李四夫妇计划贷款30万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的贷款利率是0.6%／月。他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。1.在上述条件下，李四夫妇每月的还款额是多少？共计需要付多少利息？2.在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？3.如果在第4年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.5%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的17年内将贷款还清，那么在第4年后，每月的还款额应是多少？4.又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%／月调到0.8%／月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的13年内将贷款还清，那么在第8年后，每月的还款额应是多少？5.（在第三问四问假设的基础上）银行调整利率以后，在贷款10年零7个月时，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后（第8个月应还款前）的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？6.李四夫妇发现银行提供了6种不同的还款方式：①等额本息还款法：是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；②等额本金递减法：是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；③等额递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；④等额递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑤等比递增还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；⑥等比递减还款法：是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。李四夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用③等额递增还款法的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：每5年为一个时间段，后一个时间段比前一个时间段每月多还400元。在此情况下，如果贷款利率还是0.6%／月，那么，第1个时间段的每月还款额是多少？以后各时间段的每月还款额又是多少？共计付了多少利息？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？7.在6提出的等额递增还款法方式下，在第4年初，银行的贷款利率由0.6%／月调到0.5%／月，又如果在第8年初，银行的贷款利率由0.5%／月调到0.8%／月，那么以后各时间段的每月还款额分别是多少？在贷款10年零7个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付第10年的第7个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？8.综合上述问题，请你们为李四夫妇(实际上是打算贷款购房的人)写一份短文，帮助他们分析各种方法的利弊，和偿还贷款的计划。《数学模型》模拟试题6压气机叶片排序由于加工出的压气机叶片的重量和频率不同，安装时需要按工艺要求重新排序。1．压气机24片叶片均匀分布在一圆盘边上，分成六个象限，每象限4片叶片的总重量与相邻象限4片叶片的总重量之差不允许超过一定值（如8g）。2．叶片排序不仅要保证重量差，还要满足频率要求，两相邻叶片频率差尽量大，使相邻叶片频率差不小于一定值（如6Hz）。3．当叶片确实不满足上述要求时，允许更换少量叶片。请按上述要求给出