1.2.2(2)分段函数知识点及例题解析

分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(xf＝)2(,2)2(,42xxxxx的值域．解：当x≤－２时，4)2(422xxxy，∴y≥－４．当x＞－２时，y＝2x，∴y＞22＝－１．∴函数)(xf的值域是｛y∣y≥－４，或y＞－１｝＝｛y∣y≥－４｝．评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２已知函数2(2)()3[22)3[2)xfxxxx，，，，，，，画函数()fx的图象.解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实．３．求分段函数的函数值例３．已知)(xf＝)0.(0)0(,)0(,1xxxx求(((3)))fff的值．解：∵－３＜０∴f（－３）＝０，∴f（f（－３））＝f（０）＝又＞０∴(((3)))fff＝f（）＝＋１．评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．Oxy32122图1ｘｙＯ１４．求分段函数的最值例４．已知函数)(xf＝22(0)(0)xxx，≥，求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５．如图３，动点P从边长为１的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过BCD，，再回到A，设x表示P点的行程，y表示PA的长度，求y关于x的表达式．解：如图3所示，当P点在AB上运动时，PAx；当P点在BC上运动时，由PBA△Rt，求得21(1)PAx；当P点在CD上运动时，由PDARt△求出21(3)PAx；当P点在DA上运动时，4PAx，所以y关于x的表达式是2201221261023434.xxxxxyxxxxx，≤≤，，≤，，≤，，≤在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识．ABCDP图３