傅里叶变换和频域于分析

13傅里叶变换和系统的频域分析1西北师范大学物理与电子工程学院3第三章傅里叶变换和系统的频域分析23傅里叶变换和系统的频域分析频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。33傅里叶变换和系统的频域分析发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。一百多年来，傅里叶方法在各个领域获得了成功而广泛的应用，成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。傅里叶方法并非对解决实际应用中地一切问题都那么有效，仍有其一定的局限性，比如对非线性系统和非平稳信号等问题的分析就很显不足。FFT为傅里叶分析法赋予了新的生命力。43傅里叶变换和系统的频域分析本章主要内容：•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。•通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。•对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。•本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。53傅里叶变换和系统的频域分析本章学习目标：•掌握信号的傅里叶级数分析法和傅里叶变换分析法，能对常用信号进行频域分析•熟悉信号的时域特性和频域特性间的对应关系•理解信号频谱的意义并掌握常用信号的频谱•掌握系统的频域分析法•理解并应用抽样信号和抽样定理63傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶生平•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件•拉格朗日反对发表•1822年首次发表在“热的分析理论”•一书中73傅里叶变换和系统的频域分析傅立叶的两个最主要的贡献——•“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点83傅里叶变换和系统的频域分析3.1正交函数的概念一、正交函数集从高等数学中我们知道，在区间(t1,t2)定义的两个函数f1(t)、f2(t)，若二者的乘积在区间(t1,t2)的积分等于零时，即当0d)()(2121ttftftt(1)时，称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正交。93傅里叶变换和系统的频域分析在区间(t1,t2)的两个复变函数f1(t)、f2(t)若满足0d)()(d)()(21212*1*21ttftfttftftttt(2)则称f1(t)、f2(t)在区间(t1,t2)内正交。其中，f*(t)是f(t)的共轭函数。设有n个函数f1(t),f2(t),…,fn(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1,t2))()(0d)()(21jikjittftfittji(3)则称此函数集为正交函数集。103傅里叶变换和系统的频域分析如果是复变函数集{fn(t)}(n=1,2,…)在区间(t1,t2)满足)()(0d)()(21*jikjittftfittji(4)则称此复变函数集是正交函数集。如果在正交函数集f1(t),f2(t),…,fn(t)之外，不存在函数y(t))d)(0(212tttty0d)()(21ttittytf(i=1,2,…,n)则称此函数集为完备正交函数集。113傅里叶变换和系统的频域分析二、三角函数集考察函数集{1,cosω0t,cos2ω0t,…,cosnω0t,…,sinω0t,sin2ω0t,…,sinnω0t,…}在区间(t0,t0+T)0π2T0dcossin)0(2)(0dsinsin)(2)(0dcoscos000000000000ttmtnnmTnmttmtnnmTnmttmtnTttTttTtt(对于所有的m和n)(5)(6)(7)123傅里叶变换和系统的频域分析三、复指数函数集函数集{ejnω0t}(n=0,±1,±2,…)在区间(t0,t0+T)上也是完备的正交函数集。它在区间(t0,t0+T)满足0π2T)()(0ded)e(e0000)j(*jjnmTnmttTtttnmtnTtttm(8)133傅里叶变换和系统的频域分析3.2傅里叶级数任意一个周期为T的周期信号f(t)，若满足下列狄里赫利条件：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；(2)在一个周期内只有有限个极大值或极小值。则f(t)可以展开为：一、三角形式的傅里叶级数143傅里叶变换和系统的频域分析011112121110111()cossincos2sin2cossin(cossin)nnnnnftaatbtatbtanwtbnwtaantbnt(1)12πT其中：153傅里叶变换和系统的频域分析0001()tTtaftdtT0012()costTntaftntdtT0012()sintTntbftntdtT直流系数余弦分量幅度正弦分量幅度0022TTtTT0其中n=1,2,,t通常为或163傅里叶变换和系统的频域分析将式(1)011()cos()nnnftccnt011().sin()nnnftddnt或（2）（3）173傅里叶变换和系统的频域分析各参数间的关系为：000acd22nnnncdabnnnbatgnnnabtgcossinnnnnnacdsincosnnnnnbcd183傅里叶变换和系统的频域分析(1).(2).(3)式表明任何周期信号,只要满足狄里赫利条件,都可分解为直流和各次谐波分量之和。其中：第一项c0是常数项，它是f(t)在一周期内的平均值，表示周期信号所具有的直流分量;式中第二项c1cos(ω1t+φ1)称为基波或一次谐波，它的角频率与周期信号的角频率相同，c1是基波振幅，φ1是基波初相角;式中第三项c2cos(2ω1t+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，c2是二次谐波振幅，φ2是二次谐波初相角。依此类推，还有三次、四次、……谐波。一般而言，ckcos(kω1t+φk)称为k次谐波，ck是k次谐波振幅，φk是其初相角。193傅里叶变换和系统的频域分析二、指数形式的傅里叶级数由欧拉公式111111cos2sin2jntjntjntjnteenteentj可以将三角形式的傅里叶级数表示成在运算上更为方便的指数形式：203傅里叶变换和系统的频域分析tjnnenFtf1)()(1指数形式的傅里叶级数的系数nFnF)(10101()tTjntntFftedtT213傅里叶变换和系统的频域分析)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0(aF引入了负频率0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn所以：223傅里叶变换和系统的频域分析两种傅氏级数的系数间的关系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc42222233傅里叶变换和系统的频域分析三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系对整周期对称：如偶函数和奇函数周期信号的对称关系对半周期对称：如奇谐函数和偶谐函数前者决定展开式中只含余弦项或正弦项，后者决定级数展开式中只含奇次谐波项或偶次谐波项。1.偶函数——余弦级数若f(t)是时间t的偶函数:f(t)=f(-t)即偶函数的波形对称于纵坐标轴，如图243傅里叶变换和系统的频域分析......0t2T2T()ft展开系数为：21020004cos1,2,2nTnTbaftntdtnTaftdtT这表明偶函数的傅里叶级数展开式中而只含有直流和余弦分量，不含正弦分量。253傅里叶变换和系统的频域分析2.奇函数——正弦级数若是时间t的奇函数，即奇函数的波形对称于坐标原点，如图ftftft...0t2T2T()ft...263傅里叶变换和系统的频域分析21000,14sin0,1,nTnanbftntdtnT展开系数为：这表明奇函数的傅里叶级数展开式中只含有正弦分量。273傅里叶变换和系统的频域分析3.奇谐函数——半波像对称函数若函数波形沿时间轴平移半个周期并上下反转后得出的波形与原波形重合。即：•图3－6奇谐函数的例子2Tftft...0t2T2T()ft...其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。283傅里叶变换和系统的频域分析4.偶谐函数——半周期重叠函数若波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重合，即满足：ft2Tftft...0t2T2T...()ft其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。293傅里叶变换和系统的频域分析关于对称性有关问题的讨论一个函数奇偶对称性不仅与函数的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关......0t2T2T()ft1......0t2T2T()ft1......0t2T2TF(t)1时间坐标原点对函数对称性的影响303傅里叶变换和系统的频域分析如何理解一个信号在不同的观察参考点的情况下傅里叶系数有如此多的变化？例：其所包含的频率并没有改变，信号在时间上位置的移动引起了信号各谐波初始相位的变化。信号在纵轴的平移，可以理解为是迭加上直流分量的结果。11cossin()2ktkt313傅里叶变换和系统的频域分析例子：......0t2T2T()ft2E2E......0t2T2T()ftE()()ftft00,1,2kak21cos为奇数0为偶数kEkEbkkkk111211()sinsin3sin23EEftttktk将横轴下移2E后所得到的结果323傅里叶变换和系统的频域分析例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量333傅里叶变换和系统的频域分析含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量343傅里叶变换和系统的频域分析四、傅里叶谱表征不同信号的谐波组成情况，时常画出周期信号各次谐波的分布图形，此图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。353傅里叶变换和系统的频域分析基于三角型级数所画出信号的振幅谱和相位谱，其特点是单边谱（w均为正数）。11n)(n11nnC363傅里叶变换和系统的频域分析基于指数型的傅里叶谱是一个双边谱。nnFnF1111n1n1n000373傅里叶变换和系统的频域分析【例1】试画出如图所示的周期锯齿脉冲信号的频谱图。图1周期锯齿脉冲信号2E2T－2Ef(t)－T02TTt……－383傅里叶变换和系统的频域分析【解】f(t)是奇函数，所以a0=0,ak=0。1020200200202002220)1(π2cos24dcoscos4dsin4dsin)(2kTTTTTkkET