三角函数的图像和性质-测试题及解析

第页共7页1三角函数的图象与性质函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(时间：80分钟满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．函数y＝sin4x＋32π的周期是()．A．2πB．πC.π2D．π4解析T＝2π4＝π2.答案C2．函数y＝cosx＋π2(x∈R)是()．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．无法确定解析∵y＝cosx＋π2＝－sinx，∴此函数为奇函数．答案A3．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为()．A．2B．12C．4D．14解析由已知y＝cosx的图象经变换后得到y＝cos12x的图象，所以ω＝12.答案B4．函数y＝－xsinx的部分图象是()．第页共7页2解析考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y＝－xsinx是偶函数，当x∈0，π2时，y0.答案C5．在下列区间上函数y＝sinx＋π4为增函数的是()．A.－π2，π2B．－3π4，π4C．[－π，0]D．－π4，3π4解析由2kπ－π2≤x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)得2kπ－3π4≤x≤2kπ＋π4(k∈Z)，当k＝0时，－3π4≤x≤π4，故选B.答案B6．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析将(0,1)点代入f(x)可得sinφ＝12.∵|φ|π2，∴φ＝π6，T＝2ππ3＝6.答案A7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A0，ω0，|φ|π2，第页共7页3则()．A．A＝4B．ω＝1C．φ＝π6D．B＝4解析由图象可知，A＝2，14T＝5π12－π6＝π4，T＝π，ω＝2.∵2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，故选C.答案C8．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有fπ3＋x＝fπ3－x，则fπ3等于()．A．3或0B．－3或0C．0D．－3或3解析∵fπ3＋x＝fπ3－x，∴f(x)关于直线x＝π3对称，∴fπ3应取得最大值或最小值．答案D二、填空题(每小题5分，共20分)9．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．解析∵y＝cosx在[－π，0]上为增函数，又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]⊆[－π，0]，∴a≤0.又∵a－π，∴－πa≤0.答案(－π，0]10．函数y＝tanx，x∈0，π4的值域是________．解析∵y＝tanx在0，π4上单调递增，∴0≤tanx≤1，即y∈[0,1]．第页共7页4答案[0,1]11．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在一个周期内当x＝π12时，有最大值2，当x＝7π12时有最小值－2，则ω＝________.解析由题意知T＝2×7π12－π12＝π.∴ω＝2πT＝2.答案212．函数y＝6sin14x－π6的初相是________，图象最高点的坐标是________．解析初相为－π6，当14x－π6＝π2＋2kπ，即x＝8π3＋8kπ(k∈Z)时，函数取得最大值6.答案－π68π3＋8kπ，6(k∈Z)三、解答题(每小题10分，共40分)13．用“五点法”作出函数y＝2sinx－π3＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．解(1)列表：x－π30π2π3π22πxπ35π64π311π67π3y35313(2)描点、作图(如图所示)．将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展，得y＝2sinx－π3＋3的图象．第页共7页5由图象知，周期T＝2π，频率f＝1T＝12π，相位为x－π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的单调递减区间为5π6＋2kπ，11π6＋2kπ，k∈Z，单调递增区间为－π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.14．求函数y＝－2tan3x＋π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．解由3x＋π3≠π2＋kπ，得x≠π18＋kπ3(k∈Z)，∴函数y＝－2tan3x＋π3的定义域为xx≠π18＋kπ3k∈Z.它的值域为R，周期为T＝π3，它既不是奇函数，也不是偶函数．由－π2＋kπ3x＋π3π2＋kπ(k∈Z)，得－5π18＋kπ3xπ18＋kπ3(k∈Z)，所以函数y＝－2tan3x＋π3在区间－5π18＋kπ3，π18＋kπ3(k∈Z)上单调递减．15．设函数f(x)＝sin12x＋φ0φπ2，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π4.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．解(1)∵x＝π4是y＝f(x)的图象的一条对称轴，∴sin12×π4＋φ＝±1，∴π8＋φ＝kπ±π2，k∈Z，∵0φπ2，∴φ＝3π8.第页共7页6(2)由(1)知φ＝3π8，因此y＝sin12x＋3π8.由题意得：2kπ－π2≤12x＋38π≤2kπ＋π2，k∈Z，即4kπ－74π≤x≤4kπ＋π4，k∈Z，∴函数的单调增区间为4kπ－74π，4kπ＋π4，k∈Z.16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x轴正方向平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．解(1)由已知，易得A＝2，T2＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝13.把(0,1)代入解析式y＝2sinx3＋φ，得2sinφ＝1.又|φ|π2，解得φ＝π6.∴y＝2sinx3＋π6.(2)压缩后的函数解析式为y＝2sinx＋π6，再平移得g(x)＝2sinx－π3＋π6＝2sinx－π6.列表：xπ62π37π65π313π6x－π60π2π3π22π2sinx－π6020－20图象如图：第页共7页7