二次不等式恒成立问题

基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．二次不等式恒成立问题不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，a＞0，Δ＜0；不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，a＜0，Δ＜0.一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例1.若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1[m。策略二:利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例2.已知aaxxxf3)(2，若2)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[minxfx.若2)(],2,2[xfx恒成立2)(],2,2[minxfx237)2()(22minafxfa或243)2()(2222minaaafxfa或27)2()(22minafxfa，即a的取值范围为]222,5[.策略三：利用零点分布例3.已知aaxxxf3)(2，若0)(],2,2[xfx恒成立，求a的取值范围.解析本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或0)2(0)2(220ffa或0)2(0)2(220ffa，即a的取值范围为[-7，2].点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.变式：设22)(2mxxxf，当),1[x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1[x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3[。策略四：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)(()(恒成立max)()(xfag例4.函数),1[,2)(2xxaxxxf，若对任意),1[x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1[x，0)(xf恒成立，即对),1[x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1[x，只需022axx在),1[x时恒成立而得022axx在),1[x时恒成立，只要xxa22在),1[x时恒成立。而易求得二次函数xxxh2)(2在),1[上的最大值为3，所以3a。Oxyx-1变式：已知函数]4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24对]4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可知)(xg在]4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg∴0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。策略五：确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例5.若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以x的范围是)231,271(x总结：利用了一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立变式：对任意]1,1[a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在]1,1[a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（]1,1[a）。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。策略六：消元转化例6.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,nmnfmfnmnm时，若12)(2attxf对于所有的]1,1[],1,1[ax恒成立，求实数t的取值范围.解析本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则12)(2attxf对于所有的]1,1[],1,1[ax恒成立1212att对于所有的]1,1[a恒成立，即022tta对于所有的]1,1[a恒成立，令22)(ttaag，只要0)1(0)1(gg，022ttt或或．点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。三、巩固练习1.（1）若关于x的不等式02aaxx的解集为),(，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，求实数a的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（1）设aaxxxf2.则关于x的不等式02aaxx的解集为),(0xf在,上恒成立0minxf,即,0442minaaxf解得04a（2）设aaxxxf2.则关于x的不等式32aaxx的解集不是空集3xf在,上能成立3minxf,即,3442minaaxf解得6a或2a.2.若函数268ymxmxm在R上恒成立，求m的取值范围。分析：该题就转化为被开方数2680mxmxm在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使268ymxmxm在R上恒成立，即2680mxmxm在R上恒成立。10m时，800m成立20m时，2036483210mmmmm，01m由1，2可知，01m3.已知向量2(,1),(1,),axxbxt若函数baxf在区间1,1上是增函数，求t的取值范围.解：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则xf在区间1,1上是增函数等价于0xf在区间1,1上恒成立;而0xf在区间1,1上恒成立又等价于xxt232在区间1,1上恒成立;设1,1,232xxxxg进而xgt在区间1,1上恒成立等价于1,1,maxxxgt考虑到1,1,232xxxxg在