数值分析论文 (10)

学习数值分析课程重要性研究内容摘要:学习《数值分析》是数学学习和应用中不可缺少的一部分，通过对此课程的学习可以更好的掌握数学方面的应用。通过对数值计算中算法设计的技巧、插值法、解线性方程组的直接接法和迭代法的学习可以更好的了解数值分析在解决问题中的重要性。关键字：开方求值；迭代法；高斯消去；拉格朗日插值1.导言《数值分析》是理工科院校应用数学、力学、物理、计算机软件等专业的学生必须掌握的一门重要的基础课程。它是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论.它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.通过本课程的学习，能使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据实际问题建立数学模型，然后提出相应的数值计算方法，并能编出程序在计算机上算出结果，这既能为学生在理论学习方面以及在计算机上解决实际问题等方面打下良好的基础，同时又能培养学生的逻辑思维能力和提高数学推理能力。2、数值应用举例2.1迭代法与开方求值迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的算法，是数值计算普遍使用的重要方法，以开方运算为例，它不是四则运算因此在计算机上求开方值就要转化为四则运算，使用的就是迭代法.假定0a,求a等价于解方程02ax（2.1.1）这是方程求根问题,可用迭代法求解.现在用简单的方法构造迭代法,先给一个初始近似00x,令xxx0,x是一个校正量,称为增量,于是(2.1.1)式化为axx20)(展开后略去高阶项2)(x则得)(2100xxax于是1000)(21xxaxxxx它是真值ax的一个近似,重复以上过程可得迭代公式,2,1,0),(211kxaxxkkk(2.1.2)它可逐次求得,,,21xx若*limxxkk则,*ax容易证明序列}{kx对任何00x均收敛,且收敛很快.迭代法（2.1.2）每次迭代只做一次除法,一次加法与一次移位(右移一位就是除以2),计算量很小.计算机中求a用的就是该迭代法.无论在实用上或理论上,求解线性或非线性方程,迭代法都是重要的方法.例1：用迭代法求3，取20x解：若计算精确到610，由（2.1.1）公式可求得,732051.1,732051.1,73214.1,75.14321xxxx计算停止。由于7320508.13，可知只要迭代3次误差即小于61021。2.2拉格朗日插值在许多实际问题中，函数)(xfy在某区间],[ba上存在，但函数关系往往复杂，甚至没有明显的解析表达式。例如，通过实验或观测得到一系列数据，即观测得与自变量的某些点ix相应的函数值iy（如同获得一张函数表），而要计算为未观测到点的函数值。我们欲据观测数据构造一个既能反应函数的特征又便于计算的较为简单的函数)(xg替代)(xf，这就用到插值法，此处只介绍拉格朗日插值。拉格朗日插值定义：若n次多项式),,1,0()(njxLj在1n个节点nxxx10上满足条件),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj就称这1n个n次多项式)(,),(),(10xlxlxln为节点nxxx,,,10上的n次插值基函数.n次插值基函数为)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl).,,1,0(nk于是，满足插值条件的插值多项式)(xLn可表示为.)()(0nkkknxlyxL称插值多项式为拉格朗日插值多项式。若引入记号)()(01ininxxx,则拉格朗日插值多项式可表示为nkknknknxxxxyxL0'11)()()()((因为)())(()()(110'1nkkkkkkknxxxxxxxxx)例2：已知25.0)4(,4.0)5.2(,5.0)2(fff,求f(x)的Lagrange插值多项式。解：15.1425.005.0)()()()()(35)5.4()5.24)(24()5.2)(2()(332)244()45.2)(25.2()4)(2()(10)5.6()42)(5.22()4)(5.2()(25.0,4.0,5.0;4,5.2,2222211002210210210xxxpyxlyxlyxlxpxxxxxlxxxxxlxxxxxlyyyxxx2.3解线性方程组的直接方法和迭代方法在线性代数中经常会遇见很多复杂的数字，这就需要用更好的方法来运算以简化运算量，尤其是矩阵算式，数值分析中给出了两种很好的运算方法即直接方法和迭代方法。本文只介绍迭代法中的雅克比迭代法。直接方法：对低阶稠密矩阵和大型带型矩阵所对应的线性方程组。迭代方法：对大型稀疏（非带形）矩阵所对应的线性代数方程组。雅可比迭代法设),,2,1(0niaii,并将系数矩阵A写为三部分：nnaaa2211A00001,212,11,121nnnnnnaaaaaa0000,121,211,112nnnnnnaaaaaa.ULD（2.3.1）由),,2,1(0niaii，选取M为A的对角元素部分，即选取DM(对角阵)，NDA，由(2.3)式得到解bAx的雅可比(Jacobi)迭代法,,2,1,0,)()1()0(kkkfBxxx），（初始向量（2.3.2）其中ADIB1)(1ULD,J.1bDf称J为解bAx的雅可比迭代法的迭代阵.解bAx的雅可比迭代法的分量计算公式为.,1,0),,2,1(,/,),,(1)()1(T)0()0(1)0(表示迭代次数)(kniaxabxxxiinijjkjijikinx例：设有方程组讨论用雅可比方法解此方程组的收敛性。解：（1）雅可比方法的迭代矩阵为其谱半径р参考文献①李庆扬，王能超，易大义编数值分析（第5版）[M]清华大学出版社②张威，杨月婷编数值分析（第5版）习题答案[M]清华大学出版社③林成森编著数值分析[M]科学出版社④蔺小林，蒋耀林现代数值分析[M]国防工业出版社