离散数学(二)

一、本部分的主要内容集合代数----集合的概念和基本运算关系----二元关系的表示、运算、性质、特殊的关系函数----函数定义、性质、运算集合的基数----集合的等势、集合的基数二、本部分的基本要求掌握集合及其相关的基本概念熟练掌握集合以及关系、函数的基本运算了解和使用基本的证明方法第二部分集合论主要内容集合的基本概念----属于、包含、幂集、空集、文氏图等集合的基本运算----并、交、补、差等集合恒等式----集合运算的算律、恒等式的证明方法与后面各章的关系是集合论后面各章的基础是典型的布尔代数系统第六章集合代数一、集合的定义集合没有精确的数学定义直观理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集合的元素常见的数集：N,Z,Q,R,C等分别表示自然数、整数、有理数、实数、复数集合二、集合的表示法1．枚举法----通过列出全体元素来表示集合2．谓词法----通过谓词概括集合元素的性质实例：枚举法自然数集合N={0,1,2,3,…}谓词法S={x|x是实数，x21=0}第一节集合的基本概念三、元素与集合1．集合的元素具有的性质无序性——元素列出的顺序无关相异性——集合的每个元素只计数一次确定性——对于任何元素和集合，都能确定这个元素是否为该集合的元素任意性——集合的元素也可以是集合2．元素与集合的关系——隶属关系：或者3．集合的树型层次结构dA,aA图1四、集合与集合1．集合与集合之间的关系：,=,⊈,,,ABx(xAxB)A=BABBAABABABA⊈Bx(xAxB)思考：和的定义2．注意和是不同层次的问题五、空集和全集1．空集：不含有任何元素的集合实例：{x|xRx2+1=0}定理6.1空集是任何集合的子集。证对于任意集合A，Ax(xxA)T(恒真命题)推论是惟一的2．全集E：包含了所有集合的集合全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集六、幂集1．定义：P(A)={x|xA}2．实例：P()={},P({})={,{}}3．计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2n.一、初级运算1．定义6.1并AB={x|xAxB}交AB={x|xAxB}相对补AB={x|xAxB}对称差AB=(AB)(BA)绝对补A=EA第二节集合的运算2．文氏图表示图2ABABABABABABABA–BAB~A3．几点说明：并和交运算可以推广到有穷个集合上，即A1A2…An={x|xA1xA2…xAn}A1A2…An={x|xA1xA2…xAn}ABAABAB=（后面证明）AB=AB=A二、广义运算1．定义6.2A={x|z(zAxz)}A={x|z(zAxz)}2．实例例{{1},{1,2},{1,2,3}}={1,2,3}{{1},{1,2},{1,2,3}}={1}{{a}}={a}，{{a}}={a}{a}=a，{a}=a3．广义运算的性质（1）=，无意义（2）单元集{x}的广义并和广义交都等于x（2）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层）（3）广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算{A1,A2,…,An}=A1A2…An{A1,A2,…,An}=A1A2…An4．引入广义运算的意义可以表示无数个集合的并、交运算，例如{{x}|xR}=R这里的R代表实数集合.三、运算的优先权规定1类运算：初级运算,,,，优先顺序由括号确定2类运算：广义运算和运算，运算由右向左进行2类运算优先于1类运算例A={{a},{a,b}}，则A(AA)={a,b}({a,b}{a})=(ab)((ab)a)=(ab)(ba)=b四、有穷集合元素的计数1．计数方法（1）文氏图法（2）公式法——包含排斥原理设集合S上定义了n条性质，其中具有第i条性质的元素构成子集Ai,那么集合中不具有任何性质的元素数为|...|)1(...|||||||||...|2111121nnnkjikjnjijiniinAAAAAAAAASAAAi2．计数实例例求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？解方法一图333方法二令S={x|xZ1x1000},A={x|xSx0(mod5)}B={x|xSx0(mod6)},C={x|xSx0(mod8)}则|S|=1000|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=166,|C|=1000/8=125|AB|=1000/lcm(5,6)=1000/33=33|AC|=1000/lcm(5,8)=1000/40=25|BC|=1000/lcm(6,8)=1000/24=41|ABC|=1000/lcm(5,6,8)=1000/120=8=1000(200+166+125)+(33+25+41)8=600||CBA一、集合算律1．只涉及一个运算的算律交换AB=BAAB=BAAB=BA结合(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)幂等AA=AAA=A2．涉及两个运算的算律与与分配A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)吸收A(AB)=AA(AB)=A第三节集合恒等式3．涉及补运算的算律D.M律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)(BC)=BC(BC)=BC双重否定A=A4．涉及全集和空集的算律E补元律AA=AA=E零律A=AE=E同一律A=AAE=A否定=EE=二、集合等式或包含关系的证明方法一：命题演算法例证明A(AB)=A（吸收律）证任取x,xA(AB)xAxABxA(xAxB)xA因此得A(AB)=A.例证明AB=AB证任取x,xABxAxBxAxBxAB方法二：等式代入法(假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立)例证明吸收律A(AB)=(AE)(AB)=A(EB)=A(BE)=AE=A例证明ABAB=BAB=AAB=①②③④证明思路：确定问题中含有的命题：本题含有命题①,②,③,④确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论确定证明顺序：①②，②③，③④，④①按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）命题演算证明法的书写规范(以下的X和Y代表集合公式)（1）证XY任取x，xX…xY（2）证X=Y方法一分别证明XY和YX方法二任取x，xX…xY注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分必要的证明ABAB=BAB=AAB=①②③④证①②显然BAB，下面证明ABB.任取x，xABxAxBxBxBxB因此有ABB.综合上述②得证.②③A=A(AB)A=AB(由②知AB=B，将AB用B代入)③④假设AB,即xAB，那么知道xA且xB.而xBxAB从而与AB=A矛盾.④①假设AB不成立，那么x(xAxB)xABAB与条件④矛盾.一、本章的主要内容及要求1．主要内容集合的两种表示法集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系特殊集合：空集、全集、幂集文氏图及有穷集合的计数集合的,,,,等运算以及广义,运算集合运算的算律及其应用第六章习题课二、要求熟练掌握集合的两种表示法能够判别元素是否属于给定的集合能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法二、练习题1．判断下列命题是否为真。（1）（2）（3）{}（4）{}（5）{a,b}{a,b,c,{a,b,c}}（6）{a,b}{a,b,c,{a,b}}（7）{a,b}{a,b,{{a,b}}}（8）{a,b}{a,b,{{a,b}}}解（1）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）为真，其余为假.分析（1）判断元素a与集合A的隶属关系是否成立的基本方法如下：把a作为一个整体，检查它在A中是否出现，注意这里的a可能是集合表达式.（2）判断AB的四种方法：若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现.若A,B是谓词法定义的，且A,B中元素性质分别为P和Q,那么“如果P则Q”意味着AB，“P当且仅当Q”意味着Ａ=Ｂ．通过集合运算判断AB，即AB=B,AB=A,AB=三个等式中有一个为真，则AB.可以通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明）2．设S1={1,2,…,8,9}，S2={2,4,6,8}S3={1,3,5,7,9}S4={3,4,5}S5={3,5}确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？（1）若XS5=（2）若XS4但XS2=（3）若XS1且X⋢S3（4）若XS3=（5）若XS3且X⋢S1（1）和S5不交的子集不含有3和5，因此X=S2.（2）S4的子集只能是S4和S5.由于与S2不交，不能含有偶数，因此X=S5.（3）S1,S2,S3,S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有偶数，因此X=S1,S2或S4.（4）XS3=意味着X是S3的子集，因此X=S3或S5.（5）由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.解3.判断以下命题的真假，并说明理由.（1）AB=AB=（2）A(BC)=(AB)(AC)（3）AA=A（4）如果AB=B，则A=E.（5）A={x}x，则xA且xA.解题思路：先将等式化简或恒等变形.查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.注意以下两个重要的充要条件AB=AAB=AB=ABAB=BAB=A如果与条件相符，则命题为真.如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明.试着举出反例，证明命题为假.（1）B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件.当B不空但是与A不交时也有AB=A.（2）这是DM律，命题为真.（3）不符合算律，反例如下：A={1}，AA=，但是A.（4）命题不为真.AB=B的充分必要条件是BA，不是A=E.（5）命题为真，因为x既是A的元素，也是A的子集.解4．证明AB=ACAB=ACB=C解题思路分析命题：含有3个命题：AB=ACAB=ACB=C①②③证明要求前提：命题①和②结论：命题③证明方法：恒等式代入反证法利用已知等式通过运算得到新的等式方法一：恒等变形法B=B(BA)=B(AB)=B(AC)=(BA)(BC)=(AC)(BC)=(AB)C=(AC)C=C方法二：反证法.假设BC，则存在x(xB且xC),或存在x(xC且xB).不妨设为前者.若x属于A，则x属于AB但是x不属于AC，与已知矛盾；若x不属于A，则x属于AB但x不属于AC，也与已知矛盾.证方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式.由已知等式①和②可以得到(AB)(AB)=(AC)(AC)，即AB