2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 1.1.2(一)余弦定理(一)

1.1.2（一）1.1.2余弦定理(一)【学习目标】1．理解余弦定理的证明．2．初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．【学法指导】1．教材给出了用向量法证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的重要作用．2．利用向量作为工具推导余弦定理时，向量知识可能被遗忘，要注意复习，要准确运用向量的减法法则和向量夹角的概念．3．余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）1．余弦定理三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的的余弦的积的．即a2＝_________，b2＝，c2＝.2．余弦定理的推论cosA＝；cosB＝；cosC＝.平方两倍b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC夹角b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab平方填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）在△ABC中，(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝.在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B．3C.5D．590°60°135°A填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）[问题情境]我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）探究点一利用向量法证明余弦定理问题如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角计算出三角形的另一边呢？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）探究如图所示，设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c，由AB→＝CB→－CA→知c＝a－b.根据这一关系，试用向量的数量积证明余弦定理．证明|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练bac1.1.2（一）探究点二利用坐标法证明余弦定理问题我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）探究如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，试根据两点间的距离公式证明余弦定理．证明∵B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）【典型例题】例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.解由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2，由正弦定理得sinA＝asinCc＝12，因为ba，所以BA，所以A＝30°.小结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）跟踪训练1在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.解由题意知a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝19.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）例2已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．解∵ca，cb，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－12，∵0°C180°，∴C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.小结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）跟踪训练2在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．解因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k0)．c最大，cosC＝2k2＋4k2－5k22×2k×4k0，所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）例3在△ABC中，acosA＝bcosB，试确定△ABC的形状．解方法一利用正弦定理化边为角．acosA＝bcosB⇔2RsinAcosA＝2RsinBcosB⇔sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）方法二利用余弦定理化角为边．acosA＝bcosB⇔a·b2＋c2－a22bc＝b·c2＋a2－b22ca⇔a2(c2－a2)＝b2(c2－b2)⇔a4－b4－a2c2＋b2c2＝0⇔(a2＋b2)(a2－b2)－c2(a2－b2)＝0⇔(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．小结边角混合关系式要根据正、余弦定理统一转化为角的关系式或边的关系式，本题可采用正弦定理转化为角的关系式或采用余弦定理转化为边的关系式．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）跟踪训练3在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．解由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为()A．52B．213C．16D．4解析设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x＝213.B练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12解析∵abc，∴C为最小角，由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋432－1322×7×43＝32.∴C＝π6.B练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）3．在△ABC中，已知A＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为______．解析设最大边为x1，最小边为x2，则x1＋x2＝7，x1x2＝11，∴第三边长＝x21＋x22－2x1x2cosA＝x1＋x22－2x1x21＋cosA＝4.4练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）4．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解由条件知：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x＝7.所以AC边上的中线长为7.练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.2（一）1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．判断三角形的形状，当所给的条件是边角混合关系时，基本解题思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练