利用零点个数研究参变量的取值范围

数学教案第1页共22页利用函数零点的个数研究参变量的取值范围学习内容一．零点或零点存在区间的确定解题模板：第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例题1.函数3()22xfxx在区间（0,1）内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：由于函数3()22xfxx在区间(0,1)内为单调递增函数，且010,(1)10ff，即010ff，所以函数3()22xfxx在区间(0,1)内只有一个零点，故选B.考点：函数的零点.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、本题的解答中，根据题意得出函数3()22xfxx在区间(0,1)内为单调递增函数且010ff是解答的关键.【变式1】已知函数lnxfxxxgxxe，．记Fxfxgx，求证：函数Fx在区间1，内有且仅有一个零点；二、零点的个数的确定方法1：定义法解题模板：第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论.数学教案第2页共22页例题2.已知函数f（x）＝201543212015432xxxxx，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（0,1）上恰有一个零点B．f（x）在（－1,0）上恰有一个零点C．f（x）在（0,1）上恰有两个零点D．f（x）在（－1,0）上恰有两个零点【答案】B【解析】试题分析：因为234201320141fxxxxxxx2420122014(1)(1)(1)(1)xxxxxxxx所以当1,0x时，0fx所以函数f（x）＝201543212015432xxxxx在区间（－1,0）上是增函数，且010f111111102342015f所以函数f（x）在（－1,0）上恰有一个零点，故选B．考点：1、导数与函数的单调性；2、函数的零点．【变式2】已知函数;)(201543212015432xxxxxxf;)(201543212015432xxxxxxg设函数),()()(43xgxfxF且函数)(xF的零点均在区间),,](,[Zbababa内,则ab的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】试题分析：由'232014()1fxxxxx，可得当1x时，'()0fx，当1x时，201520151()1'()1()1xxfxxx，若1x时，则'()0fx，若1x时，'()0fx，故函数()fx在R上为增函数，又因为1111(1)1102342015f，(0)1f0，所以函数()fx在数学教案第3页共22页其定义域内的区间(1,0)上只有一个零点，同理可证明函数()gx在R上式减函数，由于(1)0,(2)0gg，所以函数()gx在区间(1,2)上有一个零点，所以()Fx在区间(4,3)或(5,6)上有零点，由于()Fx的零点在区间[,]ab上，所以ba的最小值为6(4)10，故选C．考点：函数的单调性，函数的零点，等比数列的求和公式．方法2：数形结合法解题模板：第一步函数()gx有零点问题转化为方程()()fxmx有根的问题；第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数()yfx和()ymx的图像；第三步观察并判断函数()yfx和()ymx的图像的交点个数；第四步由()yfx和()ymx图像的交点个数等于函数()0gx的零点即可得出结论.数形结合法（一）：常见函数图像的画法例题3.设定义域为为R的函数lg1,10,1xxfxx，则关于x的方程20fxbfxc有7个不同的实数解得充要条件是（）(A)0b且0c(B)0b且0c(C)0b且0c(D)0b且0c【答案】C【变式3】已知直线1ykx与曲线11()fxxxxx恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为．【答案】11{,0,}88【解析】试题分析：2,12,0111()2,102,1xxxxfxxxxxxxxx，由图可知，1ykx与2,1yxx相切，或与2,1yxx相切，或与x轴平行时，直线1ykx与曲线11()fxxxxx恰有四个不同的交点，数学教案第4页共22页求得实数k的取值为11{,0,}88考点：函数图像【变式4】已知函数11,2(),1(2),22xxfxfxx若函数()(),(,7]gxxfxax有7个不同零点，则实数a的取值范围例题4.对任意实数a、b，定义运算“⊙”：a⊙b,1,1babaab，设21fxx⊙4xk，若函数fx的图像与x轴恰有三个公共点，则k的取值范围是（）（A）2,1（B）0,1（C）2,0（D）2,1【答案】D【解析】试题分析：令4,322xxxgxx或，作出ygx的图象，当直线yk与曲线ygx有三个交点时，k的取值范围是2,1.故选D.考点：新定义问题，函数零点，数形结合思想.2yxO数学教案第5页共22页【变式5】定义一种新运算：,(),()bababaab，已知函数24()(1)logfxxx，若函数()()gxfxk恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．1,2B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1)【答案】B【解析】试题分析：新运算的原则是谁小取谁，在平面直角坐标系中画出41yx、2logyx的图像，可知4x时，241log2xx，在(0,4)上，241logxx，在(4,)上，241logxx，且411yx，函数()()gxfxk恰有两个零点，则k的取值范围为(1,2)。考点：反比例函数、对数函数的图像和性质。数形结合法（二）：导数法画图例题5.若方程066223mxx有三个不同的实数根，则m的取值范围（）A.0,6B.2,6C.0,2D.6,0【答案】B【解析】试题分析：令32266fxxxm,2'61262fxxxxx.令'0fx得0x或2x;令'0fx得02x.所以函数fx在,0和2,上单调递增;在0,2上单调递减.极大值为06fm,极小值为322226262fmm.要使322660fxxxm有3个不同的实数根,则有06062220fmmfm.故B正确.考点：1用导数研究函数的单调性;2数形结合思想.【变式6】已知函数()fx=3231axx，若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围是数学教案第6页共22页（）A．（2，+∞）B．（-∞，-2）C．（1，+∞）D．（-∞，-1）【答案】B【解析】试题分析：由32()31fxaxx知22()36fxaxx，若0a，则函数2()31fxx有两个零点，不合题意；当0a时，令22()360fxaxx，解得0x或20xa，列表如下：x0（，）020,a2a2,af′（x）+0-0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵xfx，（），而010f（）＞，故存在0x，使得()0fx，不符合条件：()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，当0a时，令22()360fxaxx，解得0x或20xa，列表如下：x2,a2a2,0a00（，）f′（x）-0+0-f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而010f（）＞，xfx，（），∴存在0x＞0，使得00fx（），32()31fxaxx存在唯一的零点0x，且0x＞0∴极小值2()0fa，化为2402aaa，综上可知：a的取值范围是2（，）．故选：B．【变式7】已知函数33,(),,axxaxafxaxxaxa若对任意的实数a，总存在0x，使得0()0fx，则0x的取值范围.数学教案第7页共22页【变式8】已知函数lnxfxxxgxxe，．（1）记Fxfxgx，求证：函数Fx在区间1，内有且仅有一个零点；（2）用minab，表示ab，中的最小值，设函数minhxfxgx，，若关于x的方程hxc（其中c为常数）在区间1，有两个不相等的实根1212xxxx，，，记Fx在1，内的零点为0x，试证明：1202xxx．【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明0212xxx，根据xh在,0x上递减，即证明1012hxhxx，根据函数的单调性证明即可．学科网（2）由（1）问可知00gxfx，且01,xx时，fxgx，0,xx时gxfx，因此00ln,1,xxxxxhxxexx，其中0x满足0000lnxxxxe即00lnxxe，（事实上01,2x），而01,xx时，'ln10hxx，0,xx时，'10xhxxe，因此hx在001,,,xx，若方程hxc在区间1,有两个不相等的实根，1212,xxxx，则必有10201,,,xxxx，所证120201022xxxxxxx，因为hx在0,x单调递减，数学教案第8页共22页所以只需证2012hxhxx，而21hxhx，所以只需证1012hxhxx，即证明：0121101ln2xxxxxxe，考点：（1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性．【课堂练习·高考再现】1.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=2(4,0,log(1)13,03)axaxaxxx（a0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|()|2fxx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）[来源:学。科。网]（A）（0，23]（B）[23，34]（C）[13，23]{34}（D）[13，23）{34}【答案】C【解析】数学教案第9页共22页考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是___