2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差2211()niisxxn，其中11niixxn。棱锥的体积公式：13VSh，其中S是锥体的底面积，h为高。棱柱的体积公式：VSh，其中S是柱体的底面积，h为高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。1、函数3sin(2)4yx的最小正周期为▲。2、设2(2)zi(i为虚数单位)，则复数z的模为▲。3、双曲线221169xy的两条渐近线的方程为▲。4、集合{-1，0，1}共有▲个子集。5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲。6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲。7、现有某类病毒记作为mnXY，其中正整数,(7,9)mnmn可以任意选取，则,mn都取到奇数的概率为▲。8、如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D、E、F分别为AB、AC、AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为1V，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为2V，则1V：2V=▲。运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙89909188929、抛物线2yx在1x处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则2xy的取值范围是▲。10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且12,23ADABBEBC。若12DEABAC(1、2均为实数)，则1+2的值为▲。11、已知()fx是定义在R上的奇函数。当0x时，2()4fxxx，则不等式()fxx的解集用区间表示为▲。12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为22221(0)xyabab，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d。若216dd，则椭圆C的离心率为▲。13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数1(0)yxx图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为=▲。14、在正项等比数列na中，5671,32aaa，则满足1212nnaaaaaa的最大正整数n的值为▲。二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分）已知向量(cos,sin),(cos,sin),0ab。（1）若||2ab，求证：ab；（2）设(0,1)c，若abc，求,的值。16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB平面SBC,BCAB，AS=AB。过A作SBAF，垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。求证：（1）平面EFG//平面ABC；（2）BCSA。17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线42:xyl，设圆C的半径为1，圆心在直线l上。（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量，123cos,cos135AC。（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、（本小题满分16分）设}a{n是首项为a、公差为d的等差数列)0(d，nS为其前n项和。记2,nnnSbnNnc，其中c为实数。（1）若c=0，且421,,bbb成等比数列，证明：),(2NknSnSknk（2）若}b{n为等差数列，证明：c=0。20、（本小题满分16分）设函数axexgaxxxfx)(,ln)(，其中a为实数。（1）若)(xf在),1(上是单调减函数，且)(xg在),1(上有最小值，求a的取值范围；（2）若)(xg在),1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论。21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。求证：AC=2AD。B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1012,0206AB，求矩阵1AB．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为12xtyt（t为参数），曲线C的参数方程为22tan2tanxy（为参数）。试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a≥b＞0，求证：332ab≥222abab。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，1AA=4，点D是BC的中点。（1）求异面直线1AB与1CD所成角的余弦值；（2）求平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值。23．（本小题满分10分）设数列na：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，11(1),(1)kkkkk个，…即当()22nkN（k-1）k（k+1）k时，1(1)knak。记12nnSaaa()nN。对于lN，定义集合lP=﹛n|nS为na的整数倍，,nN且1≤n≤l}(1)求11P中元素个数；(2)求集合2000P中元素个数。参考答案1．【答案】π【解析】T＝|2πω|＝|2π2|＝π．2．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝＝5．3．【答案】xy43【解析】令：091622yx，得xxy431692．4．【答案】8【解析】23＝8．5．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089x．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222S．7．【答案】6320【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则nm，都取到奇数的概率为63209754．8．【答案】1：24【解析】三棱锥ADEF与三棱锥ABCA1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABCA1与三棱柱ABCCBA111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADEF与三棱柱ABCCBA111的体积之比为1：24．9．【答案】[—2，12]【解析】抛物线2xy在1x处的切线易得为y＝2x—1，令z＝yx2，y＝—12x＋z2．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(12，0)时，zmax＝12．yxlBFOcba10．【答案】12【解析】)(32213221ACBAABBCABBEDBDEACABACAB213261所以，611，322，2112．11．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出xxxf4)(2(0x)的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式xxf)(，表示函数y＝)(xf的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。12．【答案】33【解析】如图，l：x＝ca2，2d＝ca2－c＝cb2，由等面积得：1d＝abc。若126dd，则cb2＝6abc，yxOy＝2x—1y＝—12xxyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)整理得：06622baba，两边同除以：2a，得：0662abab，解之得：ab＝36，所以，离心率为：331e2ab．13．【答案】1或10【解析】14．【答案】12【解析】设正项等比数列}{na首项为a1，公比为q，则：3)1(215141qqaqa，得：a1＝132，q＝2，an＝26－n．记521212nnnaaaT，2)1(212nnnnaaa．nnT，则2)1(52212nnn，化简得：5211212212nnn，当5211212nnn时，12212113n．当n＝12时，1212T，当n＝13时，1313T，故nmax＝12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，ba．（2）②1sinsin①0coscos，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12．所以，α－β＝32，α＝32＋β，带入②得：sin(32＋β)＋sinβ＝23cosβ＋12sinβ＝sin(3＋β)＝1，所以，3＋β＝2．所以，α＝65，β＝6．16．证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又E，G分别为SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面//EFG平面ABC．（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，SABC．17．解：（1）联立：421xyxy，得圆心为：C(3，2)．设切线为：3kxy，d＝11|233|2rkk，得：430kork．故所求切线为：3430xyory．（2）设点M(x，y)，由MOMA2，知：22222)3(yxyx，化简得：4)1(22yx，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中22)32(aaCD．解之得：0≤a≤125．18．解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，xyAlOCBADMN知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN