第03章 静电场的边值问题(2)

3-3圆柱坐标系中的分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为01122222zrrrrr令其解为)()()(),,(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr代入上式求得上式中第二项仅为变量的函数，而第一项及第三项与无关，因此将上式对求导，得知第二项对的导数为零，可见第二项应为常数，令222dd1k0dd222k即式中k为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量的变化范围为，那么此时场量随的变化一定是以2为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数k一定是整数，以保证函数的周期为2。令，m为整数，则上式的解为20mkmBmAcossin)(式中A,B为待定常数。考虑到，以及变量的方程式，则前述方程可表示为mk0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr上式左边第一项仅为变量r的函数，第二项仅为变量z的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令222dd1zkzZZ0dd222ZkzZz即式中分离常数kz可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当kz为实数时，可令zkDzkCzZzzcossin)(式中C,D为待定常数。将变量z方程代入前式，得0)(dddd222222RmrkrRrrRrz若令，则上式变为222xrkz0)(dddd22222RmxxRxxRx上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，即)(N)(J)(rkFrkErRzmzm至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。式中E,F为待定常数,为m阶第一类柱贝塞尔函数，为m阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知，当r=0时，。因此，当场存在的区域包括r=0时，此时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。)(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm若所讨论的静电场与变量z无关，则分离常数。那么电位微分方程变为0zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解为指数函数，即mmFrErrR)(若所讨论的静电场又与变量无关，则m=0。那么，电位微分方程的解为00ln)(BrArR考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式110)cossin()cossin(ln),(mmmmmmmmmDmCrmBmArrAr例设一根无限长、半径为a的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。解选取圆柱坐标系，令z轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x轴一致，即00xEEe当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：xyaE0O①由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即10raEer0ar因此②无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为cos),(00rExE此式表明，无限远处电位函数仅为cos的函数，可见系数，且m=0。因此电位函数为00mmCAAcoscos),(11rDrBr01EB201aED那么，根据应满足的边界条件即可求得系数B1，D1应为代入前式，求得柱外电位分布函数为coscos),(200raErEr则柱外电场强度为22002211cos1sinrzrEeeerrzaaeEeErrxyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：3-4球坐标系中的分离变量法电位微分方程在球坐标系中的展开式为0sin1sinsin112222222rrrrrr)()()(),,(rRr令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得与前同理，的解应为mBmAcossin)(0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR可见，上式中第一项仅为r的函数，第二项与r无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令)1(dddd12nnrRrrR0)1(dd2dd222RnnrRrrRr式中n为整数。这是尤拉方程，其通解为1)(nnrDCrrR将此结果代入上式，得0sinsin)1(ddsindd2mnn令，则上式变为xcos01)1(dd)1(dd222xmnnxxx上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和，这里mn。)(Pxmn)(Qxmn当n是整数时，及为有限项多项式。因此，要求n为整数。)(Pxmn)(Qxmn根据第二类连带勒让德函数的特性知，当时，。因此，当场存在的区域包括或时，，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令1x)(Qxmn01x)(cosP)(P)(mnmnx那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合)(cosP)()cossin(),,()1(00mnnnnnmnmnmrDrCmBmAr若静电场与变量无关，则m=0。那么称为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为)(P)(P0xxnn)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCrE0zy0a)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr则球内外电位分别为0)1(0)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnirDrCr0)1(0)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnorBrAr解取球坐标系，令的方向与z轴一致，即。显然，此时场分布以z轴为旋转对称，因此与无关。这样，球内外的电位分布函数可取为00zEEe0E例设半径为a，介电常数为的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。0E球内外电位函数应该满足下列边界条件：②无限远处电场未受干扰，因此电位应为)(coscos),(100orPErE③球内电位与球外电位在球面上应该连续，即),(),(oiaa④根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法向导数应满足ararrro0i①球心电位应为有限值；i(0,)考虑到边界条件①，系数Dn应为零，即0i)(cos),(nnnnPrCr为了满足边界条件②，除了A1以外的系数An应皆为零，且。即01EA)(cos)(cos),()1(010onnnnPrBrPEr再考虑到边界条件③，得0)1(100)(cos)(cos)(cosnnnnnnnnPaBaPEPaC为了进一步满足边界条件④，得0)2(1001)(cos)1()(cos)(cosnnnnnnnnrPaBnPEPanC0r式中由于上两式对于所有的值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为000CB21301rraEB2301rEC)2(,0nCBnn23cos23),(00izErErrr21cos),(2300oraErErrr代入前式，求得球内外电位分别为E0zy0a值得注意的是球内的电场分布。已知，求得球内的电场为E000ii003322zzzzrEEEeeeEez可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于球外场强。球内外的电场线如图示。如果在无限大的介电常数为的均匀介质中存在球形气泡，那么当外加均匀电场时，气泡内的电场强度应为000033212rizzzrEEEeeEe那么，泡内的场强高于泡外的场强。