指数平滑法

指数平滑法指数平滑法指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法，其加权的特点是对离预测期近的历史数据给予较大的权数，对离预测期远的历史数据给予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以，这种方法被称为指数平滑法。根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。一、一次指数平滑法(1)1ˆttYS1.预测模型已知时间序列为：,一次指数平滑的基本公式为：(1)(1)1(1)tttSyS12,,,,tyyy(1)(1)11ˆˆttttSS第t期的指数平滑值,上标(1)表示一次指数平滑第t-1期的指数平滑值--加权系数,取值在0至1之间Y第t+1期的预测值Y第t期的预测值1ˆˆ(1)tttYyY即，一次指数平滑法2.初始值的确定初始值是由预测者估计或指定的。若时间序列的观察期在20个以上，初始值对预测结果的影响很小，可以方便地以第一期观测值作为初始值；若观察期在20个以下时，初始值对以后的预测结果影响较大，这时可以取最初几期的观测值的平均值作为初始值。通常取前3个观测值的平均值作为初始值。(1)0S一次指数平滑法3.加权系数α的选择①当时间序列呈稳定的水平趋势时，α应取较小值，如0.1～0.3；②当时间序列波动比较大，长期趋势变化的幅度比较大时，α应取中间值，如0.3～0.5；③当时间序列具有明显的上升或下降趋势时，α应取较大值，如0.6～0.8；在实际运用中，可取若干个α值进行试算比较，选择预测误差最小的α值。算例【例】某企业2000至2008年销售额见下表，试用指数平滑法预测2009年销售额（α分别取0.1、0.6和0.9）。年份200020012002200320042005200620072008（万元）销售额400047005000490052006600620058006000算例解：（1）确定初始值因为观察期为9小于20,取时间序列的前三项数据的平均值作为初始值(1)12304000470050004566.67()33yyyS万元算例（2）选择平滑系数α，计算各年一次指数平滑值这里分别取α=0.1、α=0.6和α=0.9计算各年一次指数平滑值年份t2000140004566.674566.674566.672001247004510.004226.674056.672002350004529.004510.674635.672003449004576.104804.274963.572004552004608.494861.714906.362005666004667.645064.685170.642006762004860.885985.876457.062007858004994.796114.356225.712008960005075.315925.745842.57算例（3）对不同平滑系数下取得的平滑值进行误差分析，确定α的取值。方法：计算各平滑系数下平滑值的均方误差S9211ˆ()9tttSyY计算公式：算例通过比较，α=0.9时的平滑值的均方误差最小，因此选用α=0.9用为加权系数。896058.32Sα=0.1的平滑值的均方误差α=0.6的平滑值的均方误差α=0.9的平滑值的均方误差379509.96S363685.42S算例⑷预测2009年销售额1ˆˆ(1)0.96005842.500.15984.26(万元)7tttYyY二、二次指数平滑法一次指数平滑法虽然克服了移动平均法的两个缺点，但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法二次指数平滑法在一次指数平滑的基础上得二次指数平滑的计算公式为式中：St(2)——第t周期的二次指数平滑值；St(1)——第t周期的一次指数平滑值；St-1(2)——第t1周期的二次指数平滑值。(1)(1)1(2)(1)(2)1(1)(1)ttttttSySSSS二次指数平滑法二次指数平滑数学模型：(1)(2)(1)(2)ˆ2()1tTttttttttYabTaSSbSS1,2,3,T算例例题：某地1983年至1993年财政入的资料如下，试用指数平滑法求解趋势直线方程并预测1996年的财政收入。算例(1)(1)(2)(2)011011(1)(2)(1)(2)111111(1)(2)1111113=23=102=28.4=101=0.92,221021011030.9(),(102101)9110.9ˆ1039ˆ199610393=13ttttttTSSSSaSSaSSbSSbYTY由上表可知：，，，，则所求模型为：年该地区财政收入预测值为：0（万元）三、三次指数平滑法若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要采用三次指数平滑法进行预测。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为：(1)(1)1(2)(1)(2)1(3)(2)(3)1(1)(1)(1)tttttttttSySSSSSSS(3)tS式中：为三次指数平滑值三次指数平滑法2ˆYttttTabTcT三次指数平滑法的预测模型为：(1)(2)(3)(1)(2)(3)22(1)(2)(3)233[(65)2(54)(43)]2(1)[2]2(1)ttttttttttttaSSSbSSScSSS式中：算例例题：我国某种耐用消费品1996年至2006年的销售量如下表所示，试预测2007年、2008年的销售量。算例解：通过实际数据序列呈非线性递增趋势，采用三次指数平滑预测方法。取0.3，初始值取123(1)(2)00225.2249.9263.2246.133yyySS(3)0244.5S算例根据指数平滑值计算公式依次计算一次、二次、三次指数平滑值。算例由公式可得当t=11时，(1)(2)(3)11111111(1)(2)(3)11111111222(1)(2)1111112333536.53416.2345.3706.2[(65)2(54)(43)]2(1)0.3[(650.3)536.52(540.3)416.2(430.3)345.3]98.42(10.3)(22(1)aSSSbSSScSSS(3)11)4.4算例于是，得t=11时预测模型为2211111111ˆY706.298.44.4TabTcTTT预测2007年和2008年的产品销售量为：22200712200813====ˆˆYYˆˆY706.298.414.41=809706.298.424.42=920.6Y（万台）（万台）于是得到2007年的产品销售量的预测值为809万台，2008年的产品销售量的预测值为920.6万台。预测人员可以根据市场需求因素的变动情况，对上述预测结果进行评价和修正。指数平滑法的优点（1）对不同时间的数据的非等权处理较符合实际情况。（2）实用中仅需选择一个模型参数即可进行预测，简便易行。（3）具有适应性，也就是说预测模型能自动识别数据模式的变化而加以调整。指数平滑法的缺点（1）对数据的转折点缺乏鉴别能力，但这一点可通过调查预测法或专家预测法加以弥补。（2）长期预测的效果较差，故多用于短期预测。