指数式与指数函数复习课件

一、指数式1.整数指数幂的运算性质(1)am·an=am+n(m,n∈Z);(2)am÷an=am-n(a0,m,n∈Z);(3)(am)n=amn(m,n∈Z);(4)(ab)n=anbn(n∈Z).2.根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.即:若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n1且n∈N*.式子a叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.n3.根式的性质1.当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,a的n次方根用符号a表示.n2.当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号-a表示.正负两个n次方根可以合写为a(a0).nnn3.(a)n=a.n当n为偶数时,an=|a|=na(a≥0),-a(a0).4.当n为奇数时,an=a;n5.负数没有偶次方根.6.零的任何次方根都是零.一、指数式4.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：（n∈N*）；②零指数幂：a0=____（a≠0）；③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；个nnaaaa1pa1④正分数指数幂：=_______（a0，m、n∈N*，且n1）；⑤负分数指数幂：==(a0,m、n∈N*,且n1).⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_____________.（2）有理数指数幂的性质①aras=______(a0,r、s∈Q);②(ar)s=______(a0,r、s∈Q);③(ab)r=_______(a0,b0,r∈Q).nmanmanmanma1nma10没有意义ar+sarsarbr二、指数函数函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.1.指数函数的定义说明：指数函数有以下特点：（1）自变量在指数上，且系数为1；（2）底数是常数，且大于0不等于1；（3）幂式前面的系数为1。2.指数函数的图象和性质y=axa10a1图象定义域___值域___________性质(1)过定点_________(2)当x0时,_____;x0时,_______(2)当x0时,_______;x0时,_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y10y10y1y1增函数减函数【例1】计算下列各式：题型一指数幂的化简与求值.)()();())()((;)()(;)()().)((.33312248436235491325129721252702701323234316561312121320503132bbababababbababa.44)]3()6(2[)3(.1)25(1)25()25(125)2(.100935351009925)27125()3.0()1(06531216121322312aabba原式原式原式解.)(224)24)(2(224)8()4(331313131313131313231313232313132313131313131313231313231bbbbbbbabbbaabbaababbbbabbaabab原式根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.探究提高.),()(;)()()().()(的值求若化简：xxxxxxaxaa42421212972710270122212121021231知能迁移1.)1(1)1(1,)1(2)1(4)1()21)(21()4(4,21,)2(.45135493101)925(7)000127()1(2222222221212121231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxxxaaxaax原式得由原式解【例2】(12分)设函数f(x)=为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性.题型二指数函数的性质1222xxaa解(1)方法一依题意，函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.方法二∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即∴a=1.（2）由(1)知，设x1x2且x1,x2∈R，,12221222xxxxaaaa,0222a,0)12)(12()22(2)1221()1221(12121212)()(121212112212xxxxxxxxxxxfxf则∴f(x2)f(x1),∴f(x)在R上是增函数.(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数,则有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1x2推得实质上应用了函数f（x）=2x在R上是单调递增这一性质.探究提高,2221xx知能迁移2设是定义在R上的函数.（1）f（x）可能是奇函数吗？（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性.xxaaxfee)(解(1)方法一假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,∴f（-x）=-f（x）,即整理得即即a2+1=0,显然无解.∴f（x）不可能是奇函数.),ee(eexxxxaaaa,)e)(e(01xxaa,01aa方法二若f(x)是R上的奇函数，则f(0)=0,即∴f(x)不可能是奇函数.,,01无解aa(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),即整理得又∵对任意x∈R都成立，∴有得a=±1.当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2∈R且x1x2,,eeeexxxxaaaa,0)e)(e1(xxaa,01aa,ee,ee,ee))(ee(eeeee)()(0012121212121221121xxxxxxxxxxxxxxxfxf其中则当f(x1)f(x2),f(x)为增函数,此时需要x1+x20，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数.,01e21xx【例3】已知函数(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.题型三指数函数的图象及应用.)31(|1|xy解（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x0)y=3x+1(x-1).,)1(3)1()31()31(11|1|xxyxxx)0()31(xyx向左平移1个单位);()(1311xyx向左平移1个单位图象如图：(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，在（-1，+∞）上是减函数.(3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.探究提高知能迁移3若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______.解析数形结合.当a1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.当0a1时，如图②,由图象知02a1,.210a)21,0(1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0a1，x→+∞时，y→0；当a1，x→-∞时,y→0;当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、(0,1)、(-1,).思想方法感悟提高方法与技巧a13.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.1.指数函数y=ax(a0,a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究.2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.失误与防范