全等三角形--截长补短

2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page1of16板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．知识点睛中考要求第九讲全等三角形中的截长补短2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page2of16板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．DOECBA4321FDOECBA【解析】BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEO≌BFO，∴12，∵60A，∴1901202BOCA，∴120DOE，∴180ADOE，∴180AEOADO，∴13180，∵24180，∴12，∴34，利用AAS证得CDO≌CFO，∴CDCF，∴BCBFCFBECD．【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page3of16与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMADGNEBMAD【解析】猜测DMMN.过点M作MGBD∥交AD于点G，AGAM，∴GDMB又∵120ADMDMA∠，120DMANMB∠∠∴ADMNMB∠∠，而120DGMMBN∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．【例3】如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BCCE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．证延长AB到F，使BFCE，则由正方形性质知AFABBFBCCE下面我们利用全等三角形来证明AEAF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角BGFCGE，所以RtΔBGFCGEAAS≌，从而12BGGCBCFGEG，，BGDM于是RtΔRtΔABGADMSAS≌，所以12BAGDAMBAEEAG，AG是EAF的平分线过G引GHAE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以∠F=∠HEG，则AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即AE=BC+CE．说明我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．【例4】(“希望杯”竞赛试题)如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page4of16则AB的长为()A.aB.kC.2khD.hMDCBAEMDCBA【解析】过点D作BC的垂线，垂足为E.∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°∵DM=CM∴CD=DM∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED为正方形，AB=AD=h，选D.【例5】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBAMFEDCBA【解析】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.【例6】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page5of16FABCDEOOEDCBA【解析】因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAE60BAD，则BAEDAC，所以BAEDAC≌，则有ABEADC，AEBACD，BEDC．在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADFABO≌，ACFAEO≌．进而由AFAO．得AFOAOF；由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE．【例7】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．NMDCBAEABCDMN【解析】如图所示，延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE≌，故MDED.因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC.又因为BDMCDE，所以60MDNEDN.在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND≌，则NEMN，所以AMN的周长为2.【例8】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page6of16DNMCBAFEABCMNDEABCDMN【解析】如图所示，过D作DE交BC于E，使得BEBM；过D作DF交BC于F，使得CFCN.因为120BDC，BDC为等腰三角形，所以30DBC，又因为ABC为正三角形，所以60ABC.注意到DBCMBD，BMBE，BDBD，所以DBE≌DBM，可知AMCE.同理，DCFDCN≌，ANBF.则有DEDM，DFDN，MDBEDB，NDCFDC.又因为60MDN，120BDC，则180MDBNDC.而120120EDCEDBMDB，120120BDFFDCNDC，故24060EDCBDFMDBNDC，因此60FDE，则FDENDM≌，MNEF，进而可知AMN的周长为1.另解：如图所示，在AB上取一点E，使得BEAN.在DAN和DBE中，DADB，ANBE，DANDBE，因此DANDBE≌，从而DNDE.在DMN和DME中，DNDE，MDMD，60MDN，180MDEDEMDME180EBDEDBMADMDA1803030EDBMDA120EDBMDA12060EDBNDA1206060EDBEDB.因此DMNDME≌，从而MNME，进而可知AMN的周长为1．【巩固】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在ABC中，ABAC，D是底边BC上的一点，E是线段AD上的一点，且2BEDCEDBAC，求证2BDCD.2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page7of16EDCBAGHFEDCBA【解析】如图所示，作BED的平分线交BC于F，又过A作AHEF∥交BE于G，交BC于H，则知12EAGDEFBEFAGEBAC，从而GEAE.又12AGEBEDCED，则AGBCEA.由ABEBAEBEDBACCAEBAE可得ABGCAE.注意到ABCA，故有ABGCAE≌，从而BGAE，AGCE，于是BGGE.又由AHEF∥，有BHHF，12GHEF，且AHHDEFFD.而CEDFED，从而1122CDECAGAHGHAHHDFDEFEFEFEFFD，即1111122222CDHDFDHFFDBFFDBD，故2BDCD.【例9】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECEDBAABDEFC【解析】延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°∴∠ABC=∠AEF∵AB=AE，BC=EF∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF∵BC+DE=CD∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE.【巩固】(2009浙江湖州)若P为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点．2010年·暑假初二数学·第9讲·教师版page8of16⑴若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，34PAPC，，则PB的值为________；⑵如图，在锐角ABC外侧作等边ACB′，连结BB′．求证：BB′过ABC的费马点P，且BBPAPBPC′．B'CBAEPABCB'【解析】⑴23⑵证明：在BB′上取点P，使120BPC，连结AP，再在PB′上截取PEPC，连结CE．∵120BPC，∴60EPC，∴PCE为正三角形，∴PCCE，60PCE，120CEB′，∵ACB′为正三