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习题7.11.设，va35uab=+−cbc43=−−，2acω=−，试用,,abc表示向量23uvω−+.解232(35)(43)3(2)uvabcabcacω−+=+−−−−+−8112abc=+−2.证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证；，→→→OAOBAB−=→→→ODOCDC−=而OC，，→→OA−=→→OBOD−=所以.→→→→→→ABOAOBOBOADC−=−=+−=这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD，从而四边形ABCD是平行四边形.3.已知菱形的对角线，ABCDACa=BDb=，试用向量,ab表示,,,ABBCCDDA。解11()()22ABACDBab⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=+=−；1()2ABba⎯⎯→⎯⎯→CD=−=−，11()(22)BCBDACa⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=+=+b，1()2DABCab⎯⎯→⎯⎯→=−=−+。4.把的ABCΔBC边五等分，设分点依次为，再把各分点与点123,,,DDDD4A连接，试以表示向量,ABcBCa==1234,,,DADADADA.解1115DABABDca⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=−=−−，2225DABABDca⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=−=−−，3335DABABDca⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=−=−−，1064445DABABDca⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→=−=−−。5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(3,2,5)A−；(1,4,4)B−；；(2,1,3)C−−(2,5,7)D−−．解A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限。6．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：(3,2,0)A；；；(0,2,1)B(2,0,0)C(0,2,0)D−．解在xOy面上的点的坐标为(,,0)xy；在面上的点的坐标为；在面上的点的坐标为(,yOz(0,,)yzzOx0,)xz。在x轴上的点的坐标为；在y轴上的点的坐标为；在z轴上的点的坐标为。(,0,0)x(0,,0)y(0,0,)zA在xOy面上，B在面上，C在x轴上，D在y轴上。yOz7．求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。(,,)abc解(1)点关于(,,)abcxOy面的对称点为(,,)abc−；关于面的对称点为(,；关于面的对称点为(,yOz,)abc−zOx,)abc−。(2)点关于x轴的对称点为(,(,,)abc,)abc−−；关于y轴的对称点为；关于z轴的对称点为(,。(,,)abc−−,abc−−))(3)点关于坐标原点的对称点为(,,)abc(,,abc−−−。8．自点分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，求出各垂足的坐标。0000(,,)Pxyz解在xOy面、yO面和面上,垂足的坐标分别为，zzOx00(,,0)xy00(0,,)yz和00(,0,)xz。在x轴、y轴和z轴上,垂足的坐标分别为，和。0(,0,0)x0(0,,0)y0(0,0,)z1079.分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解过点平行于z轴的直线上,点的坐标为0000(,,)Pxyz00(,,)xyz；过点平行于0000(,,)PxyzxOy面的平面上,点的坐标为0(,,)xyz。10.一边长为a的立方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和轴上，求各顶点的坐标。y解因为底面的对角线的长为a2,所以立方体各顶点的坐标分别为)0,0,22(a−,)0,0,22(a,)0,22,0(a−,)0,22,0(a,),0,22(aa−,),0,22(aa,),22,0(aa−,),22,0(aa。11.求点到各坐标轴的距离。(4,3,5)M−解点M到x轴的距离就是点(4,−3,5)与点(4,0,0)之间的距离,即345)3(22=+−=xd。点M到y轴的距离就是点(4,−3,5)与点(0,−3,0)之间的距离,即415422=+=yd。点M到z轴的距离就是点(4,−3,5)与点(0,0,5)之间的距离,即5)3(422=−+=zd。12.在面上，求与三点yOz(3,1,2),(4,2,2)AB−−和等距离的点。(0,5,1)C解设所求的点为P(0,y,z)与A、B、C等距离,则,→2222)2()1(3||−+−+=zyPA,→2222)2()2(4||++++=zyPB。→222)1()5(||−+−=zyPC由题意,有,→→→222||||||PCPBPA==108即⎩⎨⎧−+−=++++−+−=−+−+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3zyzyzyzy解之得1,2yz==−,故所求点为。(0,1,2)−13.试证明以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形。(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)ABC−解因为→7)96()11()410(||222=−+−−+−=AB,→7)93()14()42(||222=−+−+−=AC,→27)63()14()102(||222=−+++−=BC,所以,。→→→222||||||ACABBC+=→→||||ACAB=14.已知两点和(2,0,3)P(1,2,4)Q，计算向量PQ的模、方向余弦和方向角。解(12,20,43)(1,2,1)PQ⎯⎯→=−−−=−222||(1)(2)1PQ⎯⎯→=−++=221cos−=α,22cos=β,21cos=γ2π3α=,3π4β=,π3γ=。15.设向量的方向余弦分别满足（1）cos0α=；（2）cos1β=；（3）coscos0αβ==.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解(1)当cos0α=时,向量垂直于x轴,或者说是平行于面.yOz(2)当cos1β=时,向量的方向与y轴的正向一致,垂直于面.zOx(3)当coscos0αβ==时,向量垂直于x轴和y轴,平行于z轴,垂直于xOy面.16.已知4r=，r与轴的夹角是，求u60Prujr.109解1Prj||cos4232urrπ=⋅=⋅=.17.设ai，jk=++235bijk=−+，求出向量的模，并分别用单位向量表达向量．,ab解222||1113a=++=，222||2(3)538b=+−+=于是003,38aab==b.18.设，，358mij=++kk247nij=−−54pijk=+−p，求43amn=+−在x轴上的投影以及在轴上的分向量.y解因为434(358)3(247)(54amnpijkijkijk=+−=+++−−−+−)kp13715ij=++所以在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为743amn=+−j.19.一向量的终点在点，它在(2,1,7)B−x轴、轴和yz轴上的投影依次为和，该向量的起点4,4−7A的坐标.解设点A的坐标为(,,)xyz.由已知得,⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−774142zyx解得.点A的坐标为2,3,0xyz=−==(2,3,0)−.20.求与向量平行，方向相反，且长度为的向量b{16,15,12}a=−75.解设，由题，{16,15,12}bxx=−−x222(16)(15)(12)75bxxx=−++−=得，.3x={48,45,36}b=−−习题7.21.设，32aij=−−k2bijk=+−.求（1）a及b⋅ab×；（2）2)3ab⋅（-及2ab×；（3）,ab的夹角余弦.110解(1)31(1)2(2)(1)3ab⋅=⋅+−⋅+−⋅−=31257121ijkabijk×=−−=++−(2)2)366318abab⋅=−⋅=−⋅=−（-22()2(57)10214ababijkijk×=×=++=++(3)^||33cos(,)||||146221ababab⋅===。2.已知，和，求同时与1(1,1,2)M−2(3,3,1)M3(3,1,3)M1223,MMMM垂直的单位向量。解,→)1,4(2,2)1,13,13(21−=−+−=MM→)2,2,0()13,31,33(32−=−−−=MM1223241644022ijknMMMMijk⎯⎯→⎯⎯→=×=−=−−−||361616217n=++=11e(644)(3221717ijkijk=±−−=±−−2)为所求向量。3.设为单位向量，且满足,,abc0abc++=，求abbcca⋅+⋅+⋅。解因为所以()0abc++=()abcabc0++⋅++=，即222aabbccabbcca⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=0,于是11()(11122abbccaaabbcc⋅+⋅+⋅=−⋅+⋅+⋅=−++=−3)2。4.设质量为100的物体从点沿直线移动到，计算重力所作的（长度单位为m，重力方向为轴的负方向)。kg1(3,1,8)M2(1,4,2)Mz111解,(0,0,1009.8)(0,0,980)F=−⋅=−12(13,41,28)(2,3,6)SMM⎯⎯→==−−−=−−.（焦耳）。(0,0,980)(2,3,6)5880WFS=⋅=−⋅−−=5.求向量在向量上的投影。{1,1,4}a=−{2,2,1}b=解222(4,3,4)(2,2,1)Prje||||221bbbabaaabb⋅−⋅=⋅=⋅==++1(423241)23=×−×+×=。6.设，问{3,5,2},{2,1,4}ab=−=λ与μ有怎样的关系能使abλμ+与z轴垂直？解(32,5,24)abλμλμλμλ+=++−+μbaλμ+与z轴垂直⇔abkλμ+⊥⇔(32,5,24)(0,0,1)0λμλμλμ++−+⋅=，即240λμ−+=，所以2λμ=.当2λμ=时，abλμ+与z轴垂直。7.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为1x的点处，有一与OP1P1成角1θ的力1F作用着，在O的另一侧与点距离为2x的点处，有一与OP2P2成角2θ的力2F作用着（图7-24），问121,212,,,,xxFFθθ符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？图7-24解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,再注意到对力矩正负的规定可得,使杠杆保持平衡的条件为111222sinsin0xFxFθθ⋅−⋅=，即111222sinsinxFxFθθ⋅=⋅。8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角。112证设AB是圆O的直径,C点在圆周上,则,。→→OAOB−=→→||||OAOC=因为,→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=−=+⋅−=−⋅−=⋅OAOCOAOCOAOCOBOCOAOCBCAC所以,∠C=90°。→→BCAC⊥9.已知单位向量OA与三个坐标轴的夹角相等，B是点(1,3,2)M−关于点的对称点，求OA。(1,2,1)N−OB×解设,,αβγ是OA的方向角，则αβγ==，coscoscos3cos1αβγα++=2222=，3cos3α=±由{cos,cos,cos}OAαβγ=333(,,)333=±，由131,2,1222xyz+−+=−==2，3,7,0xyz=−==得B点坐标，于是(3,7,0)−()3,7,0OB=−，333333370ijkOAOB×=±±±−3(7310)3ijk=±−−+10.设，23aijk=−+3bijk=−+和2cij=−，求（1）()（2）()（3）()abcacb⋅−⋅(abbc+×+)()abc×⋅解(1)，21(3)(1)138ab⋅=⋅+−⋅−+⋅=21(3)(2)8ac×=⋅+−⋅−=()()=888()8[(2)(3)]824abcacbcbcbijijkjk⋅−⋅−=−=−−−+=−−.(2)，344abijk+=−+233bcijk+=−+113()()344233ijkabbcjk+×+=−=−−−.(3)23185113ijkabijk×=−=−−+−,.()81(5)(2)10abc×⋅=−⋅+−⋅−+⋅=211.求以，，为顶点的三角形的面积.(2,2,0)A−(1,1,2)B(1,0,1)C−解根据向量积的几何意义，||2ABACs⎯⎯→⎯⎯→×=因为1325732