赫尔默特方差分量估计

1赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为222111~~XBLXBL（函数模型）（8-4-1）0),(()()()()(2121122022112011DLLDPDLDPDLD），（随机模型）（8-4-2）其误差方程为111ˆlxBV权阵1P（8-4-3）222ˆlxBV权阵2P（8-4-4）作整体平差时，法方程为0ˆWxN（8-4-5）式中2222111121BPBNBPBNNNNTT，，2222111121lPBWlPB，，一般情况下，由于第一次给定的权1P、2P是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为201和202，则有122022112011)()(PLDPLD（8-4-6）但只有20202201才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权1P、2P进行预平差，然后利用平差后两类观测值的111VPVT、222VPVT来求估计量202201ˆˆ、，再根据（8-4-6）式求出)(ˆ)(ˆ21LDLD、，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到202201ˆˆ为止。为此需要建立111VPVT、222VPVT与估计量202201ˆˆ、之间的关系式。由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随机变量1qY，已知其数学期望为1q，方差阵为qq，则1qY向量的任一二次型的数学期望可以表达为：BBtrBYYETT)()(（8-4-7）式中B为任意q阶的对称可逆阵。现用V向量代替上式中的Y向量，则其中的应换为)(VE，应换为)(VD，B阵可以换成权阵P，于是有)()())(()(VPEVEVPDtrPVVETT（8-4-8）前面已经证明0)(VE，于是有：))(()(111VPDtrPVVET（8-4-9）而1111lWNBV12111)(lWWNB12221111111llPBNBlPBNBTT2221111111)(lPBNBlIPBNBTT对上式应用协因数传播律得TTTIPBNBLDIPBNBVD))(()()(1111111111TTBNBPLDPBNB112222211)(将122022112011)()(PLDPLD、代入上式，整理后得TTTBNNNBPBNBBNNNBVD1121120211111111112011)2()(将上式代入（8-4-9）式，得))(()(11111VDPtrVPVET)()2(1121112021111111111111201TTTBNNNBPtrPPBNBPBNNNBPtr顾及矩阵迹的性质，上式可写为)()]()(2[)(12112021111111201111NNNNtrNNNNtrNNtrnVPVET同理可得)()]()(2[)(12112011212122202222NNNNtrNNNNtrNNtrnVPVET去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差202201、也改用估值符号202201ˆˆ、表示，整理顺序后得11120212112011111111ˆ)(ˆ)]()(2[VPVNNNNtrNNNNtrNNtrnT（8-4-10）22220212121222011211ˆ)]()(2[ˆ)(VPVNNNNtrNNtrnNNNNtrT（8-4-11）其矩阵形式可写为WS1222ˆ（8-4-12）WS112ˆ（8-4-13）式中)()(2)()()()(21212122121112111111111NNNNtrNNtrnNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNtrnST202201ˆˆˆTTTVPVVPVW222111（8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为iiilxBVˆ)21(mi，令120)(iiiPLDmiiiTiNNBPBN1，miiiTiWWlPBW1，则得参数的估值为WNx1ˆ按照上述类似的推导，则有)()]()(2[)(1120,111120NNNNtrNNNNtrNNtrnVPVEjijmijjiiiiiiiTi去掉期望符号，相应的单位权方差20i也改为用估值符号20ˆi，则有WSmmm1ˆ（8-4-14）式中)()(2)()()()()(2)()()()()(211112111112121212122111211112111111111NNNNtrNNtrnNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNtrnNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNtrnSmmmmmmm，，，Tm20202201ˆˆˆˆTmmTmTTVPVVPVVPVW222111二、计算步骤1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值mPPP21、；2.进行第一次平差，求得iiTiVPV；3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值20ˆi；4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。2秩亏自由网平差在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆnttnnlxBV（8-2-1）式中系数阵B为列满秩矩阵，其秩为tBR)(。在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11ttttbbWxN（8-2-2）由于其系数阵的秩为tBRPBBRNRTbb)()()(，所以bbN为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bbN1，因此具有唯一解，即WNxbb1ˆ（8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为111ˆnuunnlxBV（8-2-4）式中dtud为必要的起算数据个数。尽管增加了d个参数，但B的秩仍为必要观测个数，即utBR)(其中B为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d。组成法方程0ˆ11uuuuWxN（8-2-5）式中PlBWPBBNTuTuu1，，且utBRPBBRNRT)()()(，所以N也为秩亏阵，秩亏数为：tud（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘minPVVT和最小范数minˆˆxxT的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组0ˆ11uuuuWxN虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：WNxmr1ˆ（8-2-7）式中)(TTmNNNN，称为矩阵N的最小范数g逆。)(TNN称为矩阵TNN的g逆。代入（8-2-7）式得WNNNxTTr)(ˆ（8-2-8）上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：令2122211211NNNNNNNddtddtttuu（8-2-9）12111dtu（8-2-10）式中1N行满秩，即tNR)(1，于是有TTTTTTTNNNNNNNNNNNNNN221221112121（8-2-11）而tNRNNRT)()(111，所以)(11TNN为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵)()(22)(21)(1211rnrmrrmrnrrrnmAAAAA其中1111)(ArAR，存在凯利逆，则有nmA的g逆000111rrnmAA（8-2-12）根据上式可得000000)()(1111111QNNNNTT（8-2-13）代入（8-2-8）式，得1111211121000ˆWQNWWQNNxTTT（8-2-14）或写成11111)(ˆWNNNxTT（8-2-15）未知参数的协因数阵为：11111111111111ˆˆ)(11NQNQNQNQQNQTTTWWTXX（8-2-16）二、附加条件法（伪观测值法）前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘minPVVT和最小范数minˆˆxxT的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组0ˆ11uuuuWxN的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个未知参数，因此在u个参数之间必定满足d个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于minˆˆxxT的限制条件方程的具体形式。为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组0ˆ11uuuuWxN的最小范数解。设等价于约束条件minˆˆxxT的限制条件方程为0ˆ1uTudxS（8-2-17）式中，dSR)(且满足，0BSS称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为111ˆnuunnlxBV权阵为P0ˆ1uTudxS按照附有条件的间接平差可得法方程00ˆ0WKxSSNsT（8-2-18）式中PlBWPBBNTuTuu1，，且utBRPBBRNRT)()()(，