必修5第一章正弦定理和余弦定理习题课

本课时栏目开关试一试练一练研一研学习要求1．进一步熟练掌握正、余弦定理在解决各类三角形中的应用．2．提高对正、余弦定理应用范围的认识．3．初步应用正、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题．本课时栏目开关试一试练一练研一研学法指导解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．本课时栏目开关试一试练一练研一研(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解.本课时栏目开关试一试练一练研一研1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)A＋B＋C＝，A＋B2＝________.(2)sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝，tan(A＋B)＝.(3)sinA＋B2＝，cosA＋B2＝.πsinC－tanCcosC2sinC2－cosCπ2－C2试一试·扫描要点、基础更牢固本课时栏目开关试一试练一练研一研2．正弦定理及其变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝.(2)a＝，b＝，c＝.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)sinA∶sinB∶sinC＝.2R2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2Ra∶b∶c试一试·扫描要点、基础更牢固本课时栏目开关试一试练一练研一研3．余弦定理及其推论(1)a2＝.(2)cosA＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为；c2a2＋b2⇔C为．4．三角形常用面积公式(1)S＝(ha表示a边上的高)；(2)S＝12absinC＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．b2＋c2－2bccosAb2＋c2－a22bc锐角12aha12acsinB12bcsinA直角钝角试一试·扫描要点、基础更牢固本课时栏目开关试一试练一练研一研试一试·扫描要点、基础更牢固1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°解析∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝－3bc＋23bc2bc＝32，∵A为△ABC的内角，∴A＝30°，故选A.A本课时栏目开关试一试练一练研一研试一试·扫描要点、基础更牢固2．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c·cosB＝b·cosC，且cosA＝23，则sinB等于()A．±66B.66C．±306D.306解析由c·cosB＝b·cosC，结合正弦定理得，sinCcosB＝sinBcosC，故sin(B－C)＝0，易知B＝C，故b＝c.本课时栏目开关试一试练一练研一研试一试·扫描要点、基础更牢固因为cosA＝23，所以由余弦定理得3a2＝2b2，再由余弦定理得cosB＝66，故sinB＝306.答案D本课时栏目开关试一试练一练研一研试一试·扫描要点、基础更牢固3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝14，sinCsinA＝2，且S△ABC＝154，则b等于()A．4B．3C．2D．1解析依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a.sinB＝1－cos2B＝154，又S△ABC＝12acsinB＝12×b2×b×154，所以b＝2，选C.C本课时栏目开关试一试练一练研一研试一试·扫描要点、基础更牢固4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝3，b＝2，且1＋2cos(B＋C)＝0，则BC边上的高为()A.3－1B.3＋1C.3－12D.3＋12解析由题意知，1＋2cos(B＋C)＝0⇒1－2cosA＝0⇒cosA＝12⇒A＝π3.设AB＝x，则3＝x2＋2－2·x·2cosπ3⇒x＝2＋62.本课时栏目开关试一试练一练研一研试一试·扫描要点、基础更牢固设BC边上的高为h，则12AB·ACsinA＝12·BC·h，即12x·2·32＝12·3h⇒h＝3＋12，故选D.答案D本课时栏目开关试一试练一练研一研题型一利用正、余弦定理证明三角恒等式例1在△ABC中，求证：tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.证明方法一因为左边＝sinAcosAsinBcosB＝sinAcosBsinBcosA＝ab·a2＋c2－b22acb2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2＝右边，所以tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研方法二右边＝a2＋c2－b22ac·2acb2＋c2－a22bc·2bc＝a2＋c2－b22ac·ab2＋c2－a22bc·b＝cosBcosA·sinAsinB＝sinAcosA·cosBsinB＝tanAtanB＝左边，所以tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.小结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研跟踪训练1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：cosBcosC＝c－bcosAb－ccosA.证明方法一左边＝a2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab＝b(a2＋c2－b2)c(a2＋b2－c2)，右边＝c－b·b2＋c2－a22bcb－c·b2＋c2－a22bc＝b(a2＋c2－b2)c(a2＋b2－c2)，∴等式成立．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研方法二右边＝2RsinC－2RsinB·cosA2RsinB－2RsinC·cosA＝sin(A＋B)－sinBcosAsin(A＋C)－sinCcosA＝sinAcosBsinAcosC＝cosBcosC=左边．∴等式成立．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研题型二利用正、余弦定理判断三角形的形状例2在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解方法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是等边三角形．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研方法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是等边三角形．小结本题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研跟踪训练2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝π3.又sinA＝2sinBcosC.∴a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研题型三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝35，且AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.解(1)∵AB→·BC→＝－21，∴BA→·BC→＝21.∴BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，∵cosB＝35，∴sinB＝45.∴S△ABC＝12acsinB＝12×35×45＝14.研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝42.由正弦定理：csinC＝bsinB.∴sinC＝cbsinB＝542×45＝22.∵cb且B为锐角，∴C一定是锐角．∴C＝45°.小结这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研跟踪训练3在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝34.(1)求1tanA＋1tanC的值；(2)设BA→·BC→＝32，求a＋c的值．解(1)由cosB＝34，得sinB＝1－342＝74.由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC.于是1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝sinCcosA＋cosCsinAsinAsinC＝sin(A＋C)sin2B＝sinBsin2B＝1sinB＝477.研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研(2)由BA→·BC→＝32得ca·cosB＝32，由cosB＝34，可得ca＝2，即b2＝2.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cosB，得a2＋c2＝b2＋2ac·cosB＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.研一研·题型解法、解题更高效本课时栏目开关试一试练一练研一研1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本课时栏目开关试一试练一练研一研2.下列判断中正确的是()A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解解析A：a＝bsinA，有一解；B：A90°，ab，有一解；C：absinA，无解；D：cbcsinB，有两解．B练一练·当堂检测、目标达成落实处本课时栏目开关试一试练一练研一研3．在△ABC中，求证：a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．证明根据余弦定理，右边＝2(bc×b2＋c2－a22bc＋ca×c2＋a2－b22ac＋ab×a2＋b2－c22ab)＝(b2＋c2－a2)＋(c2＋a2－b2)＋(a2＋b2－c2)＝a2＋b2＋c2＝左边，即a2＋b2＋c2＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)．练一练·当堂检测、目标达成落实处本课时栏目开关试一试练一练研一研4．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠A