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1解析几何的基本思想就是用代数方法来处理几何问题.为了把代数运算引入到几何中,需要把空间结构代数化.为此需要引进向量的代数运算,通过向量引进坐标系.本讲义主要讨论向量的运算与空间解析几何的基本内容.§1向量及其线性运算1.向量概念向量是数学的基本概念之一，是空间解析几何的重要工具,它在许多与数学相关的学科中也是解决问题的有力工具.我们把既有大小，又有方向的量叫做向量或矢量.例如位移、速度、加速度、力、力矩等都是向量.而通常把只有大小的量叫做数量.在数学中，利用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的有向线段所表示的向量记作AB（图1）.有时用加箭头的字母或用粗体字母作为向量的记号，例如向量,,afW或向量a,f,W等.BA图1如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，就说a和b是相等的向量，记作ab.这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的.注意,在数学中我们只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方.即向量可以自由地平行移动,且平移前后都代表相等的向量(同一个向量).由于向量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量.我们只讨论自由向量.向量的大小叫做向量的模或长度.向量,ABa的模依次记作|AB|与|a|.模是1的向量叫做单位向量.模是0的向量叫做零向量，记作0或0.注意,零向量的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的.如果两个非零向量a和b的方向相同或者相反，就称两个向量共线也叫平行，记为//ab(共线或平行).由于零向量的方向是任意的，因此认为零向量与任2何向量都平行,记为0//a.类似还有向量共面的概念.如果k个向量平行于同一个平面，就称这k个向量共面.此时若把它们的起点放在同一点，则k个终点和公共起点必在同一个平面上.2.向量的线性运算2.1向量的加减法设两个向量a和b，任取一点A，作ABa，再以B为起点，作BCb，连接AC（图2），那么向量ACc称为向量a与b的和，记作a+b，即ca+b.上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则.CDCa+bbba+bAaBAaB图2图3力学上有求合力的平行四边形法则，数学上也有向量相加的平行四边形法则.这就是：设向量a,b不平行，作ABADa,b，以AB、AD为边作一平行四边形ABCD，连接对角线AC（图3），显然,向量AC等于向量a与b的和a+b.向量的加法符合下列运算规律：(1)交换律a+b=b+a(2)结合律()()a+b+c=a+b+c这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），从图3可见：ABBCACa+bcADDCACb+ac所以符合交换律，又如图4所示，先作a+b再加上c，即得和()a+b+c，如以a与b+c相加，则得同一结果，即符合结合律.3a+b+cca4a5b+ca3a+bsa2aba1图4图5由于向量加法符合交换律和结合律，故n个向量12n,,,aaa相加可写成：12n+aaa，并按向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12n,,,aaa，再以第一向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图5，有12345=+saaaaa设a为向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记作a.由此，规定两个向量b与a的差：=+()baba，即把向量a加到向量b上，便得b与a的差ba（图6(a)）.aBbbbab-aaOaA(a)(b)图6显然，任给向量AB及点O，有ABAOOBOBOA，因此，若把向量a与b移到同一个点O，则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差ba（图6(b)）.特别地，当=ba时，有=+()=0aaaa.4由三角形两边之和大于第三边的原理，有+abab及-abab其中等号在a与b同向或反向时成立.2.2数乘向量法规定实数乘向量a是一个向量,记为a.它的模是aa.它的方向当0时与a相同，当0时与a相反.特别地，当0时，0a，即a为零向量，这时它的方向是任意的.当1时,1(1)=,=aaaa.数乘向量满足下列性质：(1)结合律()()()aaa；这是因为由数乘向量规定可知，向量(),(),()aaa、都是平行的向量，它们的指向也是相同的，且()()()aaaa，所以()()()aaa.(2)分配律()=aaa；()=abab.这个规律同样可用数乘向量定义来证明，证明从略.注向量的加法及数乘统称为向量的线性运算.例1平行四边形ABCD中，设ABa，ACb.试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图7）.DCMbAaB图7解由于平行四边形的对角线互相平分，所以2ACAM+ab=，()2+MAab5于是1()2+MAab；因为MCMA，所以1()2+MCab.又2+BDMDab，所以1()2MDba，且1()2MBMDab.前面已经规定,模为1的向量叫单位向量.对于非零向量a，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量a,常记为0a或ae.这里有0|1a|a|=|e.按照向量的数乘规定，0aa与0a(即a)的方向相同，a的模也相同.显然有公式:0a=aa或写成aa=|a|e.即向量a等于它的模与它的单位向量乘积.规定当0时，1aa.，则的单位向量a公式为:0aaa,或aaea.这表示一个非零向量a除以它的模是同方向的单位向量0a.利用a与a共线(平行)，可得向量的共线定理.定理1设向量0a.则，向量b与a共线的充要条件是：存在唯一的实数，使b=a.(此定理也叫‘共线定理’).推论1//（共线）存在数，使bab=a.推论2两个向量a与b共线的充要条件是存在不全为0的数,kl使得0klab.证充分性是显然的，下面证明条件的必要性.设//ba，取ba，当b与a同向时取正值，当b与a反向时取负值，即有b=a.这是因为此时b与a同向，且||||ba=aaba.再证数的唯一性.设b=a，又设b=a，两式相减，便得()0a=，即0a=.因0a，故0-，即.证毕.6定理1是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.设点O及单位向量i确定了数轴Ox（图8）.1xOiPx图8对于轴上任一点P，对应一个向量OP，由于//OPi，根据定理1，必有唯一的实数x，使OPxi（实数x叫做有向线段OP的值），并且OP与实数x一一对应.于是有关系：点P向量OPxi实数x.从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系.据此，定义实数x为数轴上点P的坐标.由此可知，轴上点P的坐标为x的充要条件是OPxi.3.空间直角坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标或O;,,ijk坐标系（图9）.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，如图10.zzkOjyOyix图9图10三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标x7面.x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个由y轴及z轴和由z轴及x轴所确定的坐标面，分别叫做yOz面及zOx面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限.含有x轴y轴与z轴正半轴的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在xOy面的上方，按逆时针方向确定.第五至第八卦限，在xOy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定，这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示（图11）.任给向量=ra，对应有点M，使OMr,OM叫做点M的向径.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体RHMK-OPNQ.如图12所示，有OMOPPNNMOPOQORr设iOPx，jOQy，kORz，则OMxyzri+j+k（向径公式）上式称为向量=ar的坐标分解式，xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.zzⅢⅡRKⅣⅠHMOyOQyⅦⅥPNⅧⅤxx图11图12显然，给定向量OMr=，就确定了点M，进而确定了三个有序数()x,y,z；反之，给定三个有序数()x,y,z，也就确定了向量OMr=与点M.于是点M、向量OMr=与有序数组()x,y,z之间有一一对应关系:()MOMxyzx,y,zr=i+j+k.8据此，可把向量r记作:()OMx,y,zr=(向量坐标公式).称有数组()x,y,z为向量r(在坐标系Oxyz中)的坐标；而且()x,y,z也称为点M的坐标，记作()Mx,y,z.这里,向量OMr=称为点M关于原点O的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标.记号()x,y,z既表示点M，也表示向量OM(向径).坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例如：如果点M在yOz面上，则0x=；同样，在zOx面上的点，0y=；在面xOy上的点，0z.如果点M在z轴上的点，则0x=y=.特别,原点O的坐标为(0,0,0)O.4.利用坐标作向量运算利用向量的坐标，可得向量的加减法以及向量的数乘法的运算如下：设123123(,,),(,,)OAaaaOBbbbab=即123123,aaabbbaijkb=ijk.利用向量加法的交换律和结合律，以及向量数乘法的结合律与分配律，有122233()()()abababa+bijk，112233()()()ababababijk，123()()()aaaaijk，(为实数)，即112233(,,)abababa+b，112233(,,)abababab，123(,).a,aaa由此可见，对向量进行加、减及与数乘，只需对向量的各个坐标进行相应的数量运算即可.定理1指出，当向量0a时，向量//ba相当于ba，坐标式为123123(,,)(,,)bbbaaaba，这也就相当于向量b与a对应的坐标成比例，可得：9312123//bbbaaababa(平行共线定理).①例2求解未知元是向量的线性方程组53(2,1,2)32=(-1,1,-2)XYa,aXYb,b解如同解实数为未知元的方程组一样，可解得23-Xab，35-Yab.以a、b的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)----X，(11,2,16).Y例3已知两点111(,,)Axyz和222(,,)Bxyz以及实数1，在直线AB上求点M，使AMMB(图13).解如图13所示,由于AMOMOA，MBOBOM因此()OMOAOBOM从而得1OAOBOM(分点公式)以OA，OB的坐标（即点A，B的坐标）代入，即得OM与M的坐标：121212,,111xxyyzzOM.定理2设O为固定点.则点M在直线AB上(共线)的充要条件是存在实数,kl使得,1OMkOAlOBkl且.证在分点公式中令1,11kl即得必要性.充分性用定理1可得.①当123,,aaa有一个为零，如1230,,0aaa，这时（*）式应理解为312223123230,bbbbbbaaaaa；当123,,aaa有两个为零，例如1230,0aaa这时（*）式应理解为312121230,0.bbbbbaaa10zAMBOyx图13本例中的点M叫做有向线段AB的分点.当1时，得AB的中点公式2OAOBOM(中点公式)它的坐标为121212(,,)222xxyyzzOM,这也是点M的坐标.注通过本例，我们应注意以下两点：(1)由于点M与向径OM有相同的坐标，因此，求点M的坐标，就是求OM的坐标。(2)记号()x,y,z既可表示点M，又可表示向量OM，在几何上点与向量是两个不同的概念，不可混淆.因此，看到记号()x,y,z时，须从上下文去认清它究竟表示点还是表示向量，当()x,y,z表示向量时，可对它进行运算；当(