解析几何七种常规题型及方法

解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆2222:10xyCabab，直线1:1xylab被椭圆C截得的弦长为22，且63e，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线2l被椭圆C截的弦长AB，⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.思路分析：把直线2l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.解析：⑴由1l被椭圆C截得的弦长为22，得228ab，………①又63e，即2223ca，所以223ab………………………….②联立①②得226,2ab，所以所求的椭圆的方程为22162xy.⑵∴椭圆的右焦点2,0F，∴2l的方程为：32yx，代入椭圆C的方程，化简得，251860xx由韦达定理知，1212186,55xxxx从而21212122645xxxxxx，由弦长公式，得2212264611355ABkxx，即弦AB的长度为465点评：本题抓住1l的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数22,ab，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。分析：设Pxy111(,)，Pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221。两式相减得()()()()xxxxyyyy12121212120。又设中点P（x,y），将xxx122，yyy122代入，当xx12时得22201212xyyyxx·。又kyyxxyx121212，代入得24022xyxy。当弦PP12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是24022xyxy说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。例2、过点4,1P作抛物线28yx的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率k，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为1122,,,AxyBxy，则有2211228,8yxyx，两式相减，得1212128yyyyxx又12128,2xxyy则21214yykxx，所以所求直线AB的方程为144yx，即4150xy.解法2：设AB所在的直线方程为41ykx由2418ykxyx，整理得283280kyyk.设1122,,,AxyBxy，由韦达定理得128yyk，又∵P是AB的中点，∴1212yy，∴824kk所以所求直线AB的方程为4150xy.由241508xyyx整理得，22300yy，则12122,30yyyy有弦长公式得，222111212125271142kkAByyyyyy.点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、⑵）另解：⑵∴椭圆的右焦点2,0F，∴2l的方程为：32yx，代入椭圆C的方程2232162yxxy，化简得，251860xx由韦达定理知，1212186,55xxxx由2l过右焦点，有焦半径公式的弦长为124625ABaexx.即弦AB的长度为465点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式akxxkAB/1||1||2212就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。一、两线段相等类型I有相同端点的不共线线段例1、（2204，北京西城区二模）已知定点)4,2(A，过点A做倾斜角为45的直线L，交抛物线)0(22ppxy于A、B两点，且||||||ACBCAB、、成等比数列（1）求抛物线方程；（2）问（1）中抛物线上是否存在D，使得||||DCDB成立？若存在，求出D的坐标。策略分析：由于D、B、C三点不共线，要使得||||DCDB成立，只需取BC中点P，满足BCDP。由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习：例2、（2005，孝感二模）已知)2()2(),,1(),0,(babaybxa（1）求点P(x,y)的轨迹方程C；（2）若直线L：bkxy（0k）与曲线C交与AB两点，D(0,－1)，且有||||BDAD，试求b的取值范围。类型II共线线段例3、直线L与x轴不垂直，与抛物线22xy交于AB两点，与椭圆2222yx交于CD两点，与x轴交于点M)0,(0x，且||||BDAC，求0x的取值范围。策略分析：不妨设A),(11yx在B),(22yx下方，C),(33yx在D),(44yx下方，由于ABCD共线，要使||||BDAC,只需4213xxxx，即4321xxxx，结合韦达定理可得结果。二、三线段相等类型I正三角形例4、（2003，北京春招）已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L：x=－1相切，点C在L上（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P且斜率为3的直线与曲线M相交于AB两点①问三角形ABC能否为正三角形？若能，求点C坐标；若不能，说明理由；②问三角形ABC能否为钝角三角形？若能，求点C纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。策略分析：对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。所以，只需设C（－1，y），根据||||ABBC和||||ABAC分别列方程求y值，判断两个y值是否相等。例5、（2005，学海大联考六）如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y))0(y，设BPOPAP,,，与x轴正方向的夹角分别为，且(1)求点P的轨迹G的方程；(2)设过点C)1,0(的直线L与轨迹G交于不同的两点MN，问在x轴上是否存在一点E)0,(0x使MNE为正三角形？策略分析：设直线L：y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据1MNEFkk，求出)0,34(2kkE；利用弦长公式求出｜MN｜，再根据||||23EFMN解得3k。注意代入验证。类型II共线线段例6、（2004，广东高考卷）设直线与椭圆1162522yx相交于AB两点，又与双曲线122yx相交于CD两点，CD三等分线段AB，求的方程。策略分析：实质是||||||DBCDAC。当与x轴垂直时，方程为24125x；当与x轴不垂直时，先由||||DBAC，利用例3的方法，求得0k或0b，然后分类讨论求出ABCD的横坐标，利用CDAB3，得出1316b和2516k。三、线段成比例类型I两个已知点一个未知点例7、（2005，黄冈调研）已知椭圆C的方程为)0(12222babxax，双曲线12222bxax的两条渐近线为21,LL，过椭圆的右焦点F做直线L，使1LL，又L与2L交于点P。设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB，（1）当21LL与夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当APFA时，求的最大值。策略分析：F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可。类型II一个已知点两个未知点例8、(2004，全国卷)设双曲线C：1222yax（a0）与直线L：1yx相交于两个不同的点AB（1）求双曲线的离心率e的取值范围；（2）设直线L与y轴的交点为P，且PBPA125，求a值。策略分析：设A),(11yx、B),(22yx、)1,0(P，由PBPA125知21125xx，于是，2211217xxx，2221125xxx，前式平方除以后式消掉2x，结合韦达定理即可求出a。注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB，且PBPA，其中，),(00yxP，则)()(0201xxxx，可以算出)()(0201xxxx和))((0201xxxx，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧2021021202102122101020201)()(22)(1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，结合韦达定理。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PFF12，PFF21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|||PFPF1323的最值。分析：（1）设||PFr11，|PFr22，由正弦定理得rrc122sinsinsin()。得rrc122sinsinsin()，sinsin)sin(ace（2）2233362)()(xaeaexaexa。当0x时，最小值是23a；当ax时，最大值是26323aea。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法【高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线)(.12.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到02cbxax。①.若a=0，当圆锥曲线是双