2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案解析

2016年全国高考新课标1卷文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=()A．{1,3}B．{3,5}C．{5,7}D．{1,7}2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A．-3B．-2C．2D．33．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A．13B．12C．23D．564．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知25,2,cos3acA，则b=()A．2B．3C．2D．35．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A．13B．12C．23D．346．若将函数y=2sin(2x+6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()A．y=2sin(2x+4)B．y=2sin(2x+3)C．y=2sin(2x–4)D．y=2sin(2x–3)7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π8．若ab0，0c1，则()A．logaclogbcB．logcalogcbC．acbcD．cacb9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为()10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足()A．y=2xB．y=3xC．y=4xD．y=5x11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为()A．32B．22C．33D．1312．若函数1()sin2sin3fxx-xax在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是()yxy2O-21Cx2O-21Byx2O-21Ax2O-21Dy开始x2+y2≥36是结束输出x,y否n=n+1输入x,y,n1,2nxxynyBEGPDCAA．[-1,1]B．[-1,13]C．[-13,13]D．[-1,-13]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x=.14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)=.15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=23，则圆C的面积为.16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17.（本题满分12分）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=31，anbn+1+bn+1=nbn.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求{bn}的前n项和.18.（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明G是AB的中点；(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求OHON；(Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.BEGPFDCA21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为cos1sinxatyat（t为参数，a0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；(Ⅱ)求不等式|f(x)|1的解集.2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1B2A3C4D5B6D7A8B9D10C11A12C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2314．4315．4π16．216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=31，解得a1=2…2分通项公式为an=2+3(n-1)=3n-1…6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=31bn，所以{bn}是公比为31的等比数列.…9分所以{bn}的前n项和Sn=111()313122313nn…12分18．(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB．又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE．…3分又PG平面PDE，∴AB⊥PG．依题PA=PB，∴G是AB的中点．…6分(Ⅱ)解：在平面PAB内作EF⊥PA（或EF//PB）垂足为F，则F是点E在平面PAC内的正投影.…7分理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB．∴EF⊥PC作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是点E在平面PAC内的正投影.…9分连接CG，依题D是正ΔABC的重心，∴D在中线CG上，且CD=2DG．易知DE//PC，PC=PB=PA=6，∴DE=2，PE=22322233PG．则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．所以四面体PDEF的体积1433VSDE.…12分19．解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为3800,19(*)5005700,19xyxNxx…3分(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19.…6分(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.…9分若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050.…11分比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分20．解：(Ⅰ)依题M(0,t)，P(22tp,t).所以N(2tp,t)，ON的方程为pyxt.联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty.解得y1=0，y2=2t.…4分所以H(22tp,2t).所以N是OH的中点，所以OHON=2.…6分(Ⅱ)直线MH的方程为2pytxt，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0.解得y1=y2=2t.即直线MH与C只有一个交点H.所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.…12分21．解：(Ⅰ)f'(x)=(x-1)ex+a(2x-2)=(x-1)(ex+2a).x∈R…2分(1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f'(x)0，f(x)单调递减；在(1,+∞)上，f'(x)0，f(x)单调递增.…3分(2)当a0时，令f'(x)=0，解得x=1或x=ln(-2a).①若a=2e，ln(-2a)=1，f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.②若a2e，ln(-2a)1，在(ln(-2a),1)上，f'(x)0，f(x)单调递减；在(-∞,ln(-2a))与(1,+∞)上，f'(x)0，f(x)单调递增.③若a2e，ln(-2a)1，在(1,ln(-2a))上，f'(x)0，f(x)单调递减；在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f'(x)0，f(x)单调递增.…7分(Ⅱ)(1)当a=0时，f(x)=(x-2)ex只有一个零点，不合要求.…8分(2)当a0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.最小值f(1)=-e0，又f(2)=a0，若取b0且bln2a，eb2a.从而f(b)223(2)(1)()022abababb，所以f(x)有两个零点.…10分(3)当a0时，在(-∞,1]上，f(x)0恒成立；若a≥2e，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，不存在两个零点.若a2e，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存在两个零点.综上a的取值范围是(0,1).…12分22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，12OA为半径作圆.(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB，∠AOB=120°.所以OE⊥AB，∠AOE=60°.…3分在RtΔAOE中，OE=12OA.即圆心O到直线AB的距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切.…5分(Ⅱ)因为OD=12OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为