暑期培优:第三章 三角函数、解三角形(必记知识点+必明易错点+必会方法)教师版

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1专题三、三角函数与解三角形任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的概念(1)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度的定义和公式(1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.(2)公式:①弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度;②弧长公式:l=|α|r;③扇形面积公式:S扇形=12lr和12|α|r2.3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=yx(x≠0).(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.1.易混概念:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.2.利用180°=πrad进行互化时,易出现度量单位的混用.3.三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时有sinα=y,cosα=x,tanα=yx,但若不是单位圆时,如圆的半径为r,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx.2[试一试]1.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α是第______象限角.答案:一或三2.已知角α的终边经过点(3,-1),则sinα=________.答案:-121.三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦;2.对于利用三角函数定义解题的题目,如果含有参数,一定要考虑运用分类讨论,而在求解简单的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,体现了数形结合的思想.[练一练]若sinα0且tanα0,则α是第______象限角.解析:由sinα0,知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上,由tanα0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.答案:三对应学生用书P39考点一角的集合表示及象限角的判定1.给出下列四个命题:①-3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有______个.解析:-3π4是第三象限角,故①错误;4π3=π+π3,从而4π3是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.答案:32.终边在直线y=3x上的角的集合为________.解析:终边在直线y=3x上的角的集合为{α|α=kπ+π3,k∈Z}.答案:{α|α=kπ+π3,k∈Z}3.在-720°~0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________.解析:所有与45°有相同终边的角可表示为:β=45°+k×360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°0°,3得-765°≤k×360°-45°,解得-765360≤k-45360,从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°.答案:-675°或-315°4.设集合M=xx=k2·180°+45°,k∈Z,N=xx=k4·180°+45°,k∈Z,那么集合M,N的关系是______.解析:法一:由于M=xx=k2·180°+45°,k∈Z={…,-45°,45°,135°,225°,…},N=xx=k4·180°+45°,k∈Z={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有MN.法二:由于M中,x=k2·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),2k+1是奇数;而N中,x=k4·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有MN.答案:MN[备课札记][类题通法]1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.2.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边的方法:先表示角α的范围,再写出kα,π±α等形式的角范围,然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置.考点二三角函数的定义[典例](1)已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π3,cos2π3,则角α的最小正值为______.(2)已知α是第二象限角,其终边上一点P(x,5),且cosα=24x,则sinα+π2=________.[解析](1)由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cosα=sin2π3=32,故α=2kπ-π6(k∈Z),所以α的最小正值为11π6.4(2)由题意得cosα=x5+x2=24x,解得x=0或x=3或x=-3.又α是第二象限角,∴x=-3.即cosα=-64,sinα+π2=cosα=-64.[答案](1)11π6(2)-64[备课札记][类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解;(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.[针对训练]已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sinα+3cosα的值.解:设α终边上任一点为P(k,-3k),则r=k2+-3k2=10|k|.当k0时,r=10k,∴sinα=-3k10k=-310,1cosα=10kk=10,∴10sinα+3cosα=-310+310=0;当k0时,r=-10k,∴sinα=-3k-10k=310,1cosα=-10kk=-10,∴10sinα+3cosα=310-310=0.综上,10sinα+3cosα=0.5考点三扇形的弧长及面积公式[典例](1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?[解](1)设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=1012θ·r2=4⇒r=1,θ=8(舍),r=4,θ=12,故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.S=12θ·r2=12r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,θ=2.所以当r=10,θ=2时,扇形面积最大.[备课札记]若本例(1)中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________.解析:设圆半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,∴正方形边长为2r,∴圆心角的弧度数是2rr=2.答案:2[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l=|α|·r,S=12lr,此时α为弧度.在角度制下,弧长l=nπr180,扇形面积S=nπr2360,此时n为角度,它们之间有着必然的联系.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.[针对训练]已知扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12cm,求弧长l.解:设扇形的半径为rcm,6如图.由sin60°=6r,得r=43cm,∴l=|α|·r=2π3×43=833π(cm).对应学生用书P41[课堂练通考点]1.如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是________.解析:由三角函数的定义知P(cosθ,sinθ).答案:(cosθ,sinθ)2.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________.解析:设扇形的半径和弧长分别为r,l,则易得l+2r=6,12lr=2,解得l=4r=1或l=2,r=2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案:1或43.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα0,则实数a的取值范围是________.解析:∵cosα≤0,sinα0,∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.∴3a-9≤0,a+20,∴-2a≤3.答案:(-2,3]4.在与2010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________.解析:2010°=676π=12π-5π6,7∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6.答案:5π65.(2014·南京期末)已知角α的终边经过点P(x,-6),且tanα=-35,则x的值为________.解析:由三角函数的定义知tanα=-6x,于是-6x=-35,解得x=10.答案:106.(2014·扬州质检)已知sinα=13,且α∈π2,π,则tanα=______.解析:因为sinα=13,且α∈π2,π,所以cosα=-1-19=-223从而tanα=-24.答案:-24[课下提升考能]第Ⅰ组:全员必做题1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______.解析:将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的16.即为-16×2π=-π3.答案:-π32.已知cosθ·tanθ0,那么角θ是第________象限角.解析:易知sinθ0,且cosθ≠0,∴θ是第三或第四象限角.答案:三或四3.已知角α和角β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sinα=______.解析:因为角α和角β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+π2(k∈Z),又β=-π3,所以α=2kπ+5π6(k∈Z),即得sinα=12.答案:1284.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点,则Q点的坐标为________.解析:由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足x=cos2π3=-12,y=sin2π3=32.答案:-12,325.给出下列各函数值:①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10);④sin7π10cosπtan17π9,其中符号为负的是________(填写序号).解析:sin(-1000°)=sin80°0;cos(-2200°)=cos(-40°)=cos40°0;tan(-10)=tan(3π-10)0;sin7π10cosπtan17π9=-sin7π10tan17π9,sin7π100,tan17π90,∴原式0.答案:③6.在直角坐标系中,O是原点,A(3,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为__________.解析:依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,设点B坐标为(x,y),所以x=2cos120°=-1,y=2sin120°=3,即B(-1,3).答案:(-1,3)7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为45,则cosα=________.解析:因为A点纵坐标yA=45,且A点在第二象限,又因为圆O为单位圆,所以A点横坐标xA=-35,由三角函数的定义可得cosα=-35.答案:-358.设角α是第三象限角,且sinα2=-sinα2,则角α2是第________象限角.解析:由α是第三象限角,知2kπ+πα2kπ+3π2(k∈Z),kπ+π2α2kπ+3π4(k∈Z),知α2是第二或第四象限角,再由sinα2=-sinα2知sinα20,所以α2只能是第四象限角.9答案:四9.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.解:设圆的半径为rcm,弧长为lcm,则12lr=1,l+2r=4,解得r=1,l=2.∴圆心角α=lr=2.

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