高中数学基础题型

集合与简易逻辑1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}abaPbQ，若{0,2,5}P，}6,2,1{Q，则P+Q中元素的有________个。（答：8）（2）设{(,)|,}UxyxRyR，{(,)|20}Axyxym，{(,)|Bxyxyn0}，那么点)()3,2(BCAPu的充要条件是________（答：5,1nm）；（3）非空集合}5,4,3,2,1{S，且满足“若Sa，则Sa6”，这样的S共有_____个（答：7）2.遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样当AB时，你是否忘记A的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}Axax，2|320Bxxx，且ABB，则实数a＝______.（答：10,1,2a）3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M集合M有______个。（答：7）4.集合的运算性质：⑴ABABA；⑵ABBBA；⑶ABuuAB痧；⑷uuABAB痧；⑸uABUABð；⑹()UCABUUCACB；⑺()UUUCABCACB.如设全集}5,4,3,2,1{U，若}2{BA，}4{)(BACU，}5,1{)()(BCACUU，则A＝_____，B＝___.（答：{2,3}A，{2,4}B）5.研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：xyxlg|—函数的定义域；xyylg|—函数的值域；xyyxlg|),(—函数图象上的点集，如（1）设集合{|2}Mxyx，集合N＝2|,yyxxM，则MN___（答：[4,)）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}MaaR，{|(2,3)(4,5)Naa，}R，则NM_____（答：)}2,2{(）6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c，使0)(cf，求实数p的取值范围。（答：3(3,)2）7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶）8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p则﹁q”；逆否命题为“若﹁q则﹁p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ABBA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（答：在ABC中，若90C，则,AB不都是锐角）；（2）已知函数2(),11xxfxaax，证明方程0)(xf没有负数根。9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若BA，则A是B的充分条件；若BA，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如（1）给出下列命题：①实数0a是直线12yax与322yax平行的充要条件；②若0,,abRba是baba成立的充要条件；③已知Ryx,，“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是“若0x或0y则0xy”；④“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是假命题。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p：|43|1x；命题q:0)1()12(2aaxax。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是（答：1[0,]2）10.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a,则bxa；若0a,则bxa；若0a,则当0b时，xR；当0b时，x。如已知关于x的不等式0)32()(baxba的解集为)31,(，则关于x的不等式0)2()3(abxba的解集为_______（答：{|3}xx）11.一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？设0a,12,xx是方程20axbxc的两实根，且12xx，则其解集如下表：20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc01{|xxx或2}xx1{|xxx或2}xx12{|}xxxx12{|}xxxx0{|}2bxxaR{|}2bxxa0RR如解关于x的不等式：01)1(2xaax。（答：当0a时，1x；当0a时，1x或1xa；当01a时，11xa；当1a时，x；当1a时，11xa）12.对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）222210axax对一切Rx恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x的方程()fxk有解的条件是什么？(答：kD，其中D为()fx的值域)，特别地，若在[0,]2内有两个不等的实根满足等式cos23sin21xxk，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）13.一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)fxaxbxca在),(k上有两根、在(,)mn上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？0()0()02fmfnbman、()0fk）。根的分布理论成（0()02fkbka、立的前提是开区间，若在闭区间],[nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令nx和mx检查端点的情况．如实系数方程220xaxb的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则12ab的取值范围是_________（答：（41，1））14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（1）不等式32xax的解集是(4,)b，则a=__________（答：18）；（2）若关于x的不等y(a0)Okx1x2x式02cbxax的解集为),(),(nm，其中0nm，则关于x的不等式02abxcx的解集为________（答：),1()1,(nm）；（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______（答：）。函数1.映射f:AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设:fMN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则在f作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}MN，映射:fMN满足条件“对任意的xM，()xfx是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；（5）设2:xxf是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则BA一定是_____（答：或{1}）.2.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()fx，xF，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}xyyfxxFxyx中所含元素的个数有个（答：0或1）；（2）若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝（答：2）3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2yx，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）4.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a，三角形中0A,最大角3，最小角3等。如（1）函数24lg3xxyx的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_______(答：30,4)；（3）函数()fx的定义域是[,]ab，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是__________(答：[,]aa)；（4）设函数2()lg(21)fxaxx，①若()fx的定义域是R，求实数a的取值范围；②若()fx的值域是R，求实数a的取值范围（答：①1a；②01a）（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出即可；若已知[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于当[,]xab时，求()gx的值域（即()fx的定义域）。如（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________（答：42|xx）；（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________（答：[1,5]）．5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相