高中数学好题速递400题(第251―300题,word版,含答案解析)

好题速递251题设,mk为正整数，方程220mxkx在区间0,1内有两个不同的根，则mk的最小值是．解：2220mxkxkmxx于是问题转化为直线yk与打勾函数2ymxx的图象的两个交点的横坐标均在区间0,1内，于是222mkm注意到2m为整数，于是在区间22,2mm上存在整数k的充要条件为2221mm解得322m故m的最小值为6，而k的最小值为7，则mk的最小值为13好题速递252题已知21xy，求22xxy的最小值是．解法一：令22xxym，则222myxm因此22212myym，整理得220ymymm故用判别式2240mmm，解得45m解法二：设cosxr，sinyr，条件转化为2cossin1rr，即12cossinr所求代数式转化为cos1cos2cossinrr的最小值由此可有斜率角度求值域：2cossin2cos2sin2sin252cos1cos1cos14，（视为单位圆上的点与1,2连线斜率），则22cos142cossin5xxy也可由三角函数角度求值域：22cos14sin21cos12112cossin5mmmmmm评注：这里因为遇到22xy的结构，故三角换元设cosxr，sinyr。解法三：数形结合当0x时，点P为21xy上的一点，则22xxyPOPH如图，就是典型的“饮马问题”，点O关于直线21xy的对称点42,55Q到y轴的距离为45当0x时，点P为21xy上的一点，则22xxyPOPH而21POOHOBPHPH于是1POPH好题速递253题如图，直线m与平面，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是．解：题意中是点O是定点，正四面体ABCD运动，但始终保持OBOC不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD固定下来，让点O在以BC为直径的球面上运动，如图所示。接下来可以得到点O到直线AD的距离的取值范围就是球心F到直线AD的距离EF减去球的半径与球心F到直线AD的距离加上球的半径之间，即222,222好题速递254题★已知,abR，对任意满足01x的实数x，都有1axb成立，则107107abab的最大值是．解法一：显然107107max20,14ababab于是问题转化为求,ab的最大值当0x时，容易得到1b，由图可知直线yaxb在01x上的值域为1,1的子集，于是斜率a必然在2,2内，故2a从而当2,1ab时，原式取到最大值为40解法二：绝对值不等式因为01,11fbfab故2aabbabb，同解法一练习：若对任意满足11x的实数x，都有21axbxc成立，则a的取值范围是．如图，易得22a点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。好题速递255题已知圆22:1Oxy为ABC的外接圆，且tan2A，若AOxAByAC，则xy的最大值为．解：如图，延长AO交边BC于点D，设AOAD则1xyADAOABAC由,,BCD三点共线可知1xy，从而11AOxyAOODOD显然当OD取最小值，即ODBC时，xy取得最大值，此时ABC为等腰三角形，可得554xy好题速递256题已知非零向量a和b互相垂直，则ab和2ab的夹角余弦值的最小值是．解：22222222cos24ababababababab令22,axby，则222222244122cos119345454xyxxyyxyxyxyxxyyxxyy好题速递257题已知正数,ab满足1910abab，则ab的取值范围是．解：设abt，则1910tab又因为1991916baababab即1016tt，解得28t当且仅当13,22ab时，2ab；当且仅当2,6ab时，8ab好题速递258题已知实数,0xy，若22xyxy，则3xy的最小值是．解法一：待定系数法1,02yxyx1122212222yxyxyxyxxy待定系数法，令11:21:322，解得13故1237xy，当且仅当91,77xy时取得解法二：323213221321xyxyxyxyxyxyxy令213210，即76时，1237xy，当且仅当91,77xy时取得解法三：三角换元设,axby，原问题转化为2222aabb，求223ab的最小值令cosar，sin3rb，0,2，0r，2223abr故问题又转化为已知2222221cossinsincos233rrr，求2r的最小值于是22222161cossinsincossin235363r因为0,2，故2212,37r评注：这里又遇到223ab的结构，故可三角换元设cosar，sin3rb，10月1日每日征解有相同的处理方法。好题速递259题已知ABC中，12CPCACB，112CPAB，点Q是线段AB上一点，且12CQCP，则CQ的取值范围是．解：根据12CPCACB，112CPAB，可知,,ABC在以AB为直径，以AB中点P为圆心的圆上。又12CQCP，且1CP，根据投影的几何意义为点Q在PC的中垂线上，又点Q在AB上，故点Q就是线段PC的中垂线与线段AB的交点又CQPQ，故问题转化为当点C在以AB为直径的圆上运动时，求PQ的取值范围显然当Q与B重合时，max1PQ，C与B接近重合时，min12PQ故1,12CQ好题速递260题在正方体''''ABCDABCD中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP和'AC所成的角为45的点P有个．解：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，规定当顶点与B的连线与直线'AC所成的角大于等于45时为一类，小于45时为一类。显然,',ABBBCB与'AC所成角的正切值为2，故大于45',ABDB与'AC所成角的为90，大于45'DB与'AC所成角的为60，大于45'CB与'AC所成角的正切值为22，小于45当点P从'B运动到'C时，角度从大于45变化到小于45，一定经过一个点满足45；依此类推，当点P在'',',''BCCCDC上运动时，都经历过角度从小于45到大于45的变化，故满足条件的点共有3个。点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。好题速递261题在ABC中，D是边AC上一点，6ABAC，4AD，若ABC的外心O恰在线段BD上，则BC．解：设2113AOABADABAC因为ABC是等腰三角形，故213，即25故有2355AOABAC再对上式两边同时与AB作数量积，有2355AOABABACAB，得1cos4A故由余弦定理得2222cos54BCABACABACA即36BC点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO在,ABAC方向的分量一样，即系数一致求出。其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。好题速递262题已知平面和相交形成的四个二面角中的其中一个为60，则在空间中过某定点P与这两个平面所成的线面角均为30的直线l有条．解：设平面和平面过点P的法线（垂直于平面的直线）分别为,mn，则,60mn而直线l与两个平面所成的线面角均为30可转化为直线l与法线,mn所成的角均为60由“鸡爪定理”可知，直线l与法线,mn所成角为60的直线有3条。点评：平面的法向量是平面方向的代表。“鸡爪定理”：如图，若直线,mn所成角为，则与直线,mn所成角相同的直线l一定在直线,mn的角平分面上，且该角的取值范围是,22和,22其中2与2就是直线l正好为直线,mn的两条角平分线时，2就是垂直时取得。好题速递263题已知向量,ab满足231ab，则ab最大值为。解法1：（方程构造法）构造方程2223(23)24ababab则ab222(23)(23)1(23)12424242424ababab，当且仅当23ab，且14a时，上式等号成立．解法2：（不等式法）对于条件231ab，则有2249121abab，又因2230ab，则有224912abab，则12112abab，因此ab最大值为124解法3：（极化恒等式法）设2aOA，3bOB，取AB的中点为M，12OM，对于OAB，因BOA可以变化，当BOA趋向于0度时，MB趋向于0，而12OM，则22OABM23ab2211044OAOBOMMB－-，因此ab最大值为124好题速递264题已知过点0,1A，且斜率为k的直线l与圆C：222(3)1xy相交于,MN两点．则AMAN．解法1：（普通方法）设直线l与圆的交点为1122(,),(,)MxyNxy，则1122(,1),(,1)AMxyANxy，由直线1ykx与圆222(3)1xy联立得2214(1)70kxkx，因此有12122274(1),11kxxxxkk，221212122124111kkyykxxkxxk，212122642()21kkyykxxk，因此可得121212()1AMANxxyyyy222227124164217111kkkkkkk解法2：（极化恒等式）如图所示，取MN的中点为G，则CGMN，由极化恒等式可得22224MNAMANAGAGMG2222()ACCGMCCG22ACMC21817AC点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。其本质就是圆的切割线定理。好题速递265题ACNyMOxG已知,AB为双曲线221164xy上经过原点的一条动弦，M为圆C：22(2)1xy上的一个动点，则MAMB的最大值为。解法1：（普通方法）设00,Mxy，满足2200(2)1xy；设1111,,(,)AxyBxy，满足22111164xy1010(,)MAxxyy，1010(,)MBxxyy，因此22220101MAMBxxyy22220011()xyxy222210011(2)[(1)4]16xyyx20115144yx，因此MAMB的最大值为201maxmin15151414316744yx解法2：（借助于极化恒等式）如图所示，O为,AB的中点，由极化恒等式可得22MAMBMOOA，而22ma