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高中数学讲义1思维的发掘能力的飞跃1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同方法，……，做第n个步骤有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取()mmn≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n个不同的元素中取出()mmn≤个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．排列数公式：A(1)(2)(1)mnnnnnm，mnN，，并且mn≤．全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示．规定：0!1．⑵组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．组合数：从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C!!()!mnnnnnmnmmnm，,mnN，并且mn≤．组合数的两个性质：性质1：CCmnmnn；性质2：11CCCmmmnnn．（规定0C1n）知识内容乘法原理高中数学讲义2思维的发掘能力的飞跃⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n个相同元素，分成()mmn≤组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从1n个空中选1m个空，各插一个隔板，有11mnC．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！8．错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．乘法原理【例1】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．典例分析高中数学讲义3思维的发掘能力的飞跃【例2】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例3】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【例4】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例5】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例6】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【例7】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【例8】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221xymn中的m和n，则能组成落在高中数学讲义4思维的发掘能力的飞跃矩形区域{()|||11Bxyx，，且||9}y内的椭圆个数为（）A．43B．72C．86D．90【例9】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2yx，值域为{19}，的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【例10】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（）A．90个B．99个C．100个D．112个【例11】从集合{4321012345}，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）高中数学讲义5思维的发掘能力的飞跃A．10B．32C．110D．220【例12】若x、y是整数，且6≤x，7≤y，则以()，xy为坐标的不同的点共有多少个？【例13】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【例14】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？高中数学讲义6思维的发掘能力的飞跃【例15】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种．A．5B．6C．7D．8