【高考冲刺】2019-2020学年下学期高二数学(人教A版--选修2-3)-课时作业19

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-1-课时作业(十九)1.(2012·湖北卷改编)设随机变量X的分布列如下所示,已知E(X)=1.6,则a-b=()X0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4答案C解析由分布列性质,得0.1+a+b+0.1=1.①由期望公式可得0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,即a+2b=1.3.②由①,②可得a=0.3,b=0.5,∴a-b=0.3-0.5=-0.2.2.随机抛掷一个骰子,所得点数η的均值为()A.16B.13C.12D.3.5答案D3.若X~B(4,12),则E(X)的值为()A.4B.2C.1D.12答案B解析∵X~B(4,12),∴E(X)=4×12=2.4.设E(X)=10,E(Y)=3,则E(3X+5Y)=()A.45B.40C.30D.15答案A5.若X是一个随机变量,则E(X-E(X))的值为()A.无法求B.0C.E(X)D.2E(X)答案B-2-6.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为ξ,则E(ξ)的值为()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22答案B解析当ξ=0时,P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;当ξ=1时,P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.135+0.085=0.22.当ξ=2时,P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765.∴E(ξ)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.7.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望是()A.13B.23C.43D.34答案B解析由题意知ξ~B(2,13),∴E(ξ)=2×13=23.8.(2010·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400答案B解析记“不发芽的种子数为ξ”,则ξ~B(1000,0.1),所以E(ξ)=1000×0.1=100,而X=2ξ,故E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200,故选B.9.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=Ck300·(13)k·(23)300-k(k=0,1,2,…,300),则E(ξ)=________.答案100解析由P(ξ=k)=Ck300(13)k(23)300-k,可知ξ~B(300,13).∴E(ξ)=300×13=100.10.某电视台开展有奖答题活动,每次要求答30个选择题,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个正确答案,每一题选对得5分,选错或不选得0分,满分150分,规定满100分拿三等奖,满120分拿二等奖,满140分拿一等奖,有一选手选对任一题的概率是0.8,则该选手可望能拿到________等奖.-3-答案二解析选对题的个数X~B(30,0.8),所以E(X)=30×0.8=24,由于24×5=120(分),所以可望能拿到二等奖.11.若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲单独解出该题的概率为23,乙单独解出该题的概率为45,设解出该题的人数为X,求E(X).解析记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B,X可能取值为0,1,2.P(X=0)=P(A-)P(B-)=(1-23)(1-45)=115,P(X=1)=P(A·B-)+P(A-·B)=P(A)P(B-)+P(A-)P(B)=23×(1-45)+(1-23)×45=25,P(X=2)=P(A)·P(B)=23×45=815.所以X的分布列为X012P11525815故E(X)=0×115+1×25+2×815=2215.12.英语考试有100道选择题,每题4个选项,选对得1分,否则得0分.学生甲会其中的20道,学生乙会其中的80道,不会的均随机选择.求甲、乙在这次测验中得分的期望.解析设甲和乙不会的题得分分别为随机变量ξ和η.由题意知ξ~B(80,0.25),η~B(20,0.25),故E(ξ)=80×0.25=20,E(η)=20×0.25=5.于是E(ξ+20)=E(ξ)+20=40,E(η+80)=E(η)+80=85.故甲、乙在这次测验中得分的期望分别为40分和85分.点评会判断随机变量是否服从两点分布、二项分布.若服从,则直接求均值即可,不必再列出分布列.13.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求:(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;-4-(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.解析(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3-k7,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=Ck3C3-k7C310,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123P72421407401120X的数学期望E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,而P(A1)=C13C23C310=340,P(A2)=P(X=2)=740,P(A3)=P(X=3)=1120,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=340+740+1120=31120.14.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.解析(1)设这名学生路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427.(2)由题意可得,ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min),事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k=0,1,2,3,4),所以P(ξ=2k)=Ck4(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4),-5-即ξ的分布列是ξ02468P16813281827881181所以ξ的期望是E(ξ)=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=83.►重点班选做题15.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表:x123P(ξ=x)?!?请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________.答案2解析设“?”处的数值为x,则“!”处的数值为1-2x,则E(ξ)=1·x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.16.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望.解析由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是:9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=216=18,同理可得P(Y=18)=14,P(Y=19)=14,P(Y=20)=14,P(Y=21)=18.所以随机变量Y的分布列为:Y1718192021P1814141418-6-E(Y)=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×18+18×14+19×14+20×14+21×18=19.17.某渔船要对下月是否出海作出决策,如果出海后遇到好天气,可得收益6000元,如果出海后天气变坏将损失8000元.若不出海,无论天气如何都将承担1000元损失费.据气象部门的预测,下月好天气的概率是0.6,天气变坏的概率为0.4,请你为该渔船作出决定,是出海还是不出海?依据是什么?解析若选择出海,设X为渔船的收益,则由题知X的可能取值为6000元,-8000元,P(X=6000)=0.6,P(X=-8000)=0.4.∴E(X)=6000×0.6+(-8000)×0.4=400.若选择不出海,则损失1000元.∵400-1000,∴应选择出海.18.(2010·重庆)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.解析(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则A表示“甲、乙的序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式,得P(A)=1-P(A)=1-C23C26=1-15=45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=5C26=13,P(ξ=1)=4C26=415,P(ξ=2)=3C26=15,P(ξ=3)=2C26=215,P(ξ=4)=1C26=115.从而知ξ的分布列ξ01234P1341515215115所以,E(ξ)=0×13+1×415+2×15+3×215+4×115=43.1.在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个数.-7-(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率;(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).解析(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A,则P(A)=C14C25C39=1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是ξ012P51212112所以ξ的数学期望E(ξ)=0×512+1×12+2×112=23.2.(2010·福建)设S是不等式x2-x-6≤0的解集,整数m,n∈S.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举A包含的基本事件;(2)设ξ=m2,求ξ的分布列及其数学期望E(ξ).解析(1)由x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即S={x|-2≤x≤3}.由于m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以A包含的基本事件为:(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P(ξ=0)=16,P(ξ=1)=26=13,P(ξ=4)=26=13,P(ξ=9)=16.故ξ的分布列为:ξ0149P16131316所以E(ξ)=0×16+1×13+4×13+9×16=196.

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