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第1页，共17页东华高级中学2019-2020学年上学期高二数学期末考试一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑏=2，𝐵=45°，𝐶=120°，则边𝑐=()A.√2B.√3C.2D.√62.已知实数x，y满足，则目标函数𝑧=𝑥−𝑦的最大值是()A.2B.1C.−1D.−23.糖水溶液(不饱和)的浓度计算公式为𝑐=糖的质量𝑏克糖水的质量𝑎克(𝑎𝑏)，向糖水(不饱和)中再加入m克糖，那么糖水(不饱和)将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为()A.𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎+𝑚B.𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎+𝑚C.𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎D.𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎4.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为()A.𝑦=±12𝑥B.𝑦=±√2𝑥C.𝑦=±2𝑥D.𝑦=±√3𝑥5.已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，且𝑎3+𝑎13=50，𝑎6=19，则𝑎2=()A.3B.4C.7D.86.已知a，b为实数，则“0𝑎𝑏2”是“𝑎2𝑏”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为()A.96里B.48里C.24里D.12里8.如图，已知三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN上一点，且𝑀𝐺=2𝐺𝑁，若记𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，则𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13𝑎⃗⃗+13𝑏⃗+13𝑐⃗B.13𝑎⃗⃗+13𝑏⃗+16𝑐⃗C.16𝑎⃗⃗+13𝑏⃗+13𝑐⃗D.16𝑎⃗⃗+16𝑏⃗+13𝑐⃗第2页，共17页9.已知实数𝑎0，𝑏0，且1𝑎+2𝑏=2，则𝑏𝑎的最大值为()A.49B.12C.23D.√2210.已知双曲线C：𝑥216−𝑦29=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，P为双曲线C上一点，直线l分别与以𝐹1为圆心、𝐹1𝑃为半径的圆和以𝐹2为圆心、𝐹2𝑃为半径的圆相切于点A，B，则|𝐴𝐵|=()A.2√7B.6C.8D.10二、不定项选择题（本大题共2小题，共10.0分）11.四边形ABCD内接于圆O，𝐴𝐵=𝐶𝐷=5，𝐴𝐷=3，∠𝐵𝐶𝐷=60°，下列结论正确的有()A.四边形ABCD为梯形B.圆O的直径为7C.四边形ABCD的面积为55√34D.△𝐴𝐵𝐷的三边长度可以构成一个等差数列12.我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)，𝐴1，𝐴2，𝐵1，𝐵2为顶点，𝐹1，𝐹2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有()A.|𝐴1𝐹1|，|𝐹1𝐹2|，|𝐹2𝐴2|为等比数列B.∠𝐹1𝐵1𝐴2=90°C.𝑃𝐹1⊥𝑥轴，且𝑃𝑂//𝐴2𝐵1D.四边形𝐴1𝐵2𝐴2𝐵1的内切圆过焦点𝐹1，𝐹2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线𝑥2=12𝑦上的一点M到焦点的距离为2，则点M的纵坐标是________．14.如图，以长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为(2,3，4)，则𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标为________．第3页，共17页15.已知命题“∀𝑥∈[1,3]，不等式𝑥2−𝑎𝑥+4≥0”为真命题，则a的取值范围为________．16.斐波那契数列(𝐹𝑖𝑏𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒)，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(𝐿𝑒𝑜𝑛𝑎𝑟𝑑𝑜𝑑𝑎𝐹𝑖𝑏𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：𝑎1=1，𝑎2=1，𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−2(𝑛≥3,𝑛∈𝑁∗)，记其前n项和为𝑆𝑛，设𝑎2019=𝑡(𝑡为常数)，则𝑆2017+𝑆2016−𝑆2015−𝑆2014=________(用t表示)，𝑆2017−𝑎2019=________(用常数表示)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：𝑥2−𝑥−6≥0，q：𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚2+𝑚≤0．(1)若𝑚=2，且𝑝∧𝑞为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18.已知等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎2=4，𝑎3𝑎4=128，数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}是首项为1公差为1的等差数列．(1)求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；(2)求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．19.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴−(𝑏+𝑐)sin𝐶．(1)求角A的大小．(2)若BC边上的中线𝐴𝐷=2√3，且𝑆△𝐴𝐵𝐶=2√3，求△𝐴𝐵𝐶的周长．第4页，共17页20.如图，已知斜三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐵𝐶𝐴=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐴1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且𝐴1𝐷=√3．(1)求证：𝐴1𝐵⊥𝐴𝐶1；(2)求直线𝐴1𝐵与平面𝐴1𝐵1𝐶1所成角的正弦值；(3)在线段𝐶1𝐶上是否存在点M，使得二面角𝑀−𝐴1𝐵1−𝐶1的平面角为90°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．21.在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米．”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案．第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为𝛼，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为𝛽，然后计算出国贸中心的高度(如图1)．第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面，每层约3米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为𝑎1米；②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为𝑎2米．然后计算出国贸中心的高度(如图2)．实际操作中，第一小组测得𝑠=90米，𝛼=42°，𝛽=48°，最终算得国贸中心高度为𝐻1；第二小组测得𝑎1=1.45米，𝑎=12米，𝑎2=1.4米，最终算得国贸中心高度为𝐻2；假设他们测量者的“眼高h”都为1.6米．第5页，共17页(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan42°≈0.9，tan48∘=1tan42∘，答案保留整数结果)；(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由．22.设圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−15=0的圆心为M，直线l过点𝑁(−1,0)且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C．(1)证明|𝐶𝑀|+|𝐶𝑁|为定值，并写出点C的轨迹方程；(2)设点C的轨迹为曲线E，直线𝑙1：𝑦=𝑘𝑥与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若△𝑃𝑄𝑅是以PQ为底边的等腰三角形，求△𝑃𝑄𝑅面积的最小值．第6页，共17页答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题．由已知利用正弦定理𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，即可解得边c的值．【解答】解：∵𝑏=2，𝐵=45°，𝐶=120°，∴由正弦定理𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，可得：𝑐=𝑏⋅𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵=2×√32√22=√6．故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可行域，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数𝑧=𝑥−𝑦为直线方程的斜截式，可知当直线在y轴上的截距最小时z最大，结合图象找出满足条件的点，代入目标函数可求z的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由𝑧=𝑥−𝑦，得𝑦=𝑥−𝑧，由图可知，当直线𝑦=𝑥−𝑧过可行域内点(2,0)时直线在y轴上的截距最小，z最大．∴目标函数𝑧=𝑥−𝑦的最大值为2−0=2．故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的性质，通过作差可以得出结论，属于基础题．根根据题意列出不等式作差比较即可得解．【解答】第7页，共17页解：∵𝑎𝑏，∴𝑏+𝑚𝑎+𝑚−𝑏𝑎=𝑎𝑏+𝑎𝑚−𝑎𝑏−𝑏𝑚𝑎(𝑎+𝑚)=𝑚(𝑎−𝑏)𝑎(𝑎+𝑚)0，∴𝑏+𝑚𝑎+𝑚𝑏𝑎．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题．由已知条件推导出2𝑏=𝑎，由此能求出此双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的实轴长是虚轴长的2倍，∴2𝑏=𝑎，∴双曲线C的渐近线方程为：𝑦=±12𝑥.故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．根据等差数列的性质𝑎𝑛=𝑎𝑚+(𝑛−𝑚)𝑑，求出𝑎2即可．【解答】解：设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，因为𝑎3+𝑎13=2𝑎8=50，所以𝑎8=25，所以2𝑑=𝑎8−𝑎6=25−19=6，所以𝑑=3，所以𝑎2=𝑎6−4𝑑=19−12=7．故选C．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若0𝑎𝑏2，例如𝑎=−1，𝑏=−1，不满足𝑎2𝑏，故充分性不成立，若𝑎2𝑏，例如𝑏=1，𝑎=−1，不满足0𝑎𝑏2，故必要性不成立，则“0𝑎𝑏2”是“𝑎2𝑏”的既不充分也不必要条件，故选D．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等比数列的应用，考查等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由𝑆6=378求得首项，再第8页，共17页由等比数列的通项公式求得该人第4天走的路程．【解答】解：记每天走的路程里数为{𝑎𝑛}，由题意知{𝑎𝑛}是公比为12的等比数列，由𝑆6=378，得𝑆6=𝑎1(1−126)1−12=378，解得𝑎1=192，∴𝑎4=192×123=24(里)．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的三角形法则与平行四边形法则，向量的线性表示，属于基础题．利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把𝑂𝐺⃗⃗