全国中学生物理竞赛分类汇编――电磁学

1电磁学第21届预赛三、（15分）测定电子荷质比（电荷q与质量m之比q／m）的实验装置如图所示。真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极A与阴极K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域。若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点。现已知极板的长度l＝5.00cm，C、D间的距离d＝l.50cm，极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L＝12.50cm，U＝200V，P点到O点的距离3.0yOPcm；B＝6.3×10－4T。试求电子的荷质比。（不计重力影响）。五、（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R。杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行。导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？八、（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0的电阻和2.0的电阻构成的无穷组合电路相接。求图中10F的电容器与E点相接的极板上的电荷量。2第20届预赛四、(20分）从z轴上的O点发射一束电量为q（＞0）、质量为m的带电粒子，它们速度统方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v．试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的经离为d．要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值．不计粒子间的相互作用和重力的作用．七、（20分）图预20-7-1中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．己知B板电势为零，A板电势UA随时间变化的规律如图预20-7-2所示，其中UA的最大值为的U0，最小值为一2U0．在图预20-7-1中，虚线MN表示与A、B扳平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为l．在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压．己知上述的T、U0、l，q和m等各量的值正好满足等式20222163TmqUl若在交流电压变化的每个周期T内，平均产主320个上述微粒，试论证在t＝0到t＝T／2这段时间内产主的微粒中，有多少微粒可到达A板（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用）。3第19届预赛二、（20分）图预19-2所示电路中，电池的电动势为E，两个电容器的电容皆为C，K为一单刀双掷开关。开始时两电容器均不带电（1）第一种情况，现将K与a接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K与a断开而与b接通，此过程中电池供给的电能等于___________。（2）第二种情况，现将K与b接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K与b断开而与a接通，此过程中电池供给的电能等于___________。第18届预赛二、（15分）两块竖直放置的平行金属大平板A、B，相距d，两极间的电压为U。一带正电的质点从两板间的M点开始以竖直向上的初速度0v运动，当它到达电场中某点N点时，速度变为水平方向，大小仍为0v，如图预18－2所示．求M、N两点问的电势差．（忽略带电质点对金属板上电荷均匀分布的影响）七、（25分）如图预18－7所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为1.6La的刚性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的轴线上．DE边上S点（14DSL）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图预18-7中截面内且垂直于DE边向下．发射粒子的电量皆为q（＞0），质量皆为m，但速度v有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边．试问：1．带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？2.这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？4第17届预赛四、（20分）某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的装置转化为电磁量来测量的。一平板电容器的两个极扳竖直放置在光滑的水平平台上，极板的面积为S，极板间的距离为d。极板1固定不动，与周围绝缘；极板2接地，且可在水平平台上滑动并始终与极板1保持平行。极板2的两个侧边与劲度系数为k、自然长度为L的两个完全相同的弹簧相连，两弹簧的另一端固定．图预17-4-1是这一装置的俯视图．先将电容器充电至电压U后即与电源断开，再在极板2的右侧的整个表面上施以均匀的向左的待测压强p；使两极板之间的距离发生微小的变化，如图预17-4-2所示。测得此时电容器的电压改变量为U。设作用在电容器极板2上的静电作用力不致引起弹簧的可测量到的形变，试求待测压强p。五、（20分）如图预17-5-1所示，在正方形导线回路所围的区域1234AAAA内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间以恒定的变化率增大，回路中的感应电流为1.0mAI．已知12AA、34AA两边的电阻皆为零；41AA边的电阻13.0kR，23AA边的电阻27.0kR。1．试求12AA两点间的电压12U、23AA两点间的电压23U、34AA两点间的电压34U、41AA两点间的电压41U。2．若一内阻可视为无限大的电压表V位于正方形导线回路所在的平面内，其正负端与连线位置分别如图预17-5-2、图预17-5-3和图预17-5-4所示，求三种情况下电压表的读数1U、2U、3U。5第16届预赛四、（20分）位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd。ab长为1l，是水平的，bc长为2l，线框的质量为m，电阻为R.。其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界'PP和'QQ均与ab平行，两边界间的距离为H，2Hl，磁场的磁感应强度为B，方向与线框平面垂直，如图预16-4所示。令线框的dc边从离磁场区域上边界'PP的距离为h处自由下落，已知在线框的dc边进入磁场后，ab边到达边界'PP之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到dc边刚刚到达磁场区域下边界'QQ的过程中，磁场作用于线框的安培六、（15分）如图预16-4-1所示，电阻121kRR，电动势6VE，两个相同的二极管D串联在电路中，二极管D的DDIU特性曲线如图预16-6-2所示。试求：1.通过二极管D的电流。2.电阻1R消耗的功率。6参考答案第21届预赛三、设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l的极板区域所需的时间t1＝l/v0（1）当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向D，电子的加速度qEam（2）而UEd（3）因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1内垂直于极板方向的位移21112yat（4）电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度vy＝at1（5）设电子离开极板区域后，电子到达荧光屏上P点所需时间为t2t2＝（L－l/2）/v0（6）在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移y2＝vyt2（7）P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移y＝y1+y2（8）由以上各式得电子的荷质比为20vqymUlLd（9）加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电子所受电场力与磁场力相等，即qE＝qv0B（l0）注意到（3）式，可得电子射入平行板电容器的速度0UvBd（11）代人（9）式得72qUymBlLd（12）代入有关数据求得111.610qmC/kg（13）评分标准：本题15分．（l）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分。五、用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知E＝Bl（v2－v1）（1）2IRE（2）令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则F＝IBl（3）令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知F＝ma1（4）Mg－T＝ma2（5）T－F＝ma2（6）由以上各式解得22211()2BlvvaRm（7）222122()2()MgRBlvvaMmR（8）评分标准：本题15分．（l）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）式各1分，（7）、（8）式各2分。八、设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路。B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中BCR是虚线右方电路的等效电阻。由于B、C右方的电路与B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路，故有8BCBCRR（1）由电阻串、并联公式可得212BCBCBCRRR（2）由式（1）、（2）两式得220BCBCRR解得RBC＝2.0（3）图1所示回路中的电流为201024A=0.10A1030182I（4）电流沿顺时针方向。设电路中三个电容器的电容分别为C1、C2和C3，各电容器极板上的电荷分别为Q1、Q2和Q3，极性如图3所示。由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即Q1＋Q2－Q3＝0（5）A、E两点间的电势差3113EAQQUUCC（6）又有(10300.10)V=7.0VEAUU（7）B、E两点间的电势差3223BEQQUUCC（8）又有(24200.10)V=26VBEUU（9）图3图1图29根据（5）、（6）、（7）、（8）、（9）式并代入C1、C2和C3之值后可得Q3＝1.3×10－4C（10）即电容器C3与E点相接的极板带负电，电荷量为1.3×10－4C。评分标准：本题17分．求得（3）式给3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（10）式各2分，指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分。第20届预赛四、参考解答设计的磁场为沿z轴方向的匀强磁场，O点和M点都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由O点射出就进入了磁场，可将与z轴成角的速度分解成沿磁场方向的分速度Zv和垂直于磁场方向的分速度v（见图预解20-4-1），注意到很小，得cosZvvv（1）sinvvv（2）粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下作圆周运动，以R表示圆周的半径，有2vqBvmR圆周运动的周期2RTv由此得2mTqB（3）可见周期与速度分量v无关。粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同时存在，粒子将沿磁场方向作螺旋运动，螺旋运动螺距为vzvvvz10ZhvTvT（4）由于它们具有相同的v，因而也就具有相同的螺距；又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使OM等于一个螺距或一个螺距的n（整数）倍，由O点射出的粒子绕磁场方向旋转一