金融时间序列分析(非平稳部分)

1第1节有关单位过程的极限分布对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。一、维纳过程维纳过程(WienerProcess)也称为布朗运动过程(BrownianMotionProcess)，是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。设)(tW是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足：(a)W(0)=0；(b)对闭区间[0，1]上任意一组分割1021kttt，)(tW的变化量：12312,,,kktWtWtWtWtWtW为相互独立的随机变量；(c)对任意10ts，有),0(~)()(stNsWtW(5.2.1)则称)(tW为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。由定义显然有：),0(~)0()()(tNWtWtW(5.2.2))1,0(~)1(NW即标准维纳过程)(tW在任意时刻t服从正态分布。将标准维纳过程推广，可得到一般维纳过程的概念。令)()(tWtB称)(tB是方差为2的维纳过程。显然，)(tB满足标准维纳过程定义中的前两个条件，第三个条件则变为：对任意10ts，有))(,0(~)()(2stNsBtB根据上式，显然有),0(~)0()()(2tNBtBtB(5.2.3)),0(~)1(2NB利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程，例如，对于2tWtY，在任意时刻t，有分布：)1(~)(2ttY更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性，使得它在概率极限定理，随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实际应用中扮演着十分重要的角色。二、有关随机游动的极限分布1、泛函中心极限定理2泛函中心极限定理是对一般中心极限定理的推广，它是研究非平稳时间序列过程的重要工具。在给出泛函中心极限定理之前，我们先回顾一下概率论与数理统计中研究平稳随机变量序列的中心极限定理：如果随机变量序列}{t：,,,,21n独立同分布，且有,2,1,)(,)(2tDEtt令NtNN11，则),0()(1)(21NNNNLtN(5.2.4)中心极限定理表明：独立同分布的随机变量之和（或样本均值）为正态分布。对于白噪声序列t，由于,2,1,)(,0)(2tDEtt根据中心极限定理，有),0(1)(21NNNNLtN(5.2.5)下面，我们根据白噪声序列t，构造一新统计量：设r为闭区间[0，1]上的任一实数，记][rNNr为不超过rN的最大整数，对于给定白噪声序列t：N,,,21，取其前][rNNr项构造统计量：rNtNrX11)((5.2.6)显然)(rX为一样本均值，当N固定，r在闭区间[0，1]上变化时，)(rX是定义在[0，1]上的一个阶梯函数，其具体表达式为：10/)(/)(/03221121211rrrrNNNrXNNNNNN(5.2.7)将)(rX乘上N，再写成如下形式：rrNtrrNtNNNNrXN1111由前述中心极限定理，有21,01NNLNttrr另一方面，对于[0，1]上的任意实数r，有rNrNNNNrN][limlim因此，)(rXN有如下极限分布：3),0(121rNNrXNLNtr(5.2.8)对照(5.2.3)式，有),0(~)()(2rNrWrB这表明，)(rXN的极限分布与一般维纳过程)()(tWtB的分布是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。泛函中心极限定理：设序列t：,,,,21t独立同分布，且满足,2,1,)(,0)(2tDEttr为闭区间[0，1]上的任一实数，给定样本N,,,21，取其前][rNNr项构造统计量：rNtNrX11)(那么，当N时，统计量)(rXN有如下极限：)()(11rWrBNrXNLNtr(5.2.9)在(5.2.9)式中令r=1，有),0(~)1(1121NWNXNLNt(5.2.10)与(5.2.5)式对照可以看出，一般中心极限定理是泛函中心极限定理的一个特例。下面给出非平稳时间序列分析中经常用到的有关随机游动的极限分布，所使用的基本工具就是泛函中心极限定理。2、有关随机游动的极限分布设序列ty遵从随机游动过程：tttyy1（5.1.4）其中，}{t独立同分布，且22)()(,0)(tttEDE，0y=0。则以下极限成立：（1）)1(121WNNLt；（2）]1)1([2122111WyNNLtt；（3）101123)(drrWyNNLt；（4）10123)()1(drrWWtNNLt；（5）101125)(drrrWtyNNLt；（6）10221212)(drrWyNNLt。证明过程中，可用到下列关系：4rNtNrX11)(，)()(11rWrBNrXNLNtr/rtN，1/drN，11()tXrYN证明：（1）由(5.2.10)式，显然成立。（2）因为tttttttyyyy12212122)(整理得)(2122121tttttyyy两边求和并除以N，得)11(21112211NtNNttNyNyN又因为NNtyNNX11)1(1代入上式，有NtNttNXNyN122111))1((211根据大数定理，有2121pNtN注意(5.2.10)式，从而有]1)1([2112211WyNLNtt（2）证毕。(3)根据(5.2.7)式知，)(rX是[0，1]上的一个阶梯函数，再由（5.1.4），有ttttyy211因此)(rX可表示为10///03221121rrrrNyNyNyrXNNNNNN(5.2.11)求阶梯函数)(rX在[0，1]上的积分，有NtNyNNNyNNyNNyNdrrX1121210111110)(两边同乘N，得NtyNdrrXN112310)(由于5)()(rWrBrXNL根据连续映射定理，则有10101123)()(drrWdrrXNyNLNt（3）证毕。（1）因为)]()()([121321211231123NNtNyN]2)2()1[(122123NNNNNNttNN123)(NtNttNN123121所以NtNtNtN121123NtyN1123利用（1）和（3）的结论，有10123)()1(drrWWtNLNt（4）证毕。（2）因为NtNtNNyNtNtyN111211251)1(1)(1][121NtrNtNrXNNrNN101021)]([1][)(1][drrXNNNrdrrXNNrN根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得到101125)(drrrWtyNNLt（5）证毕。（3）因为NNyNyNNtNt12111212)1(1)(12NtrNtNrXNN102)(drrXN102)]([drrXN连续映射定理是指：若)()(SSLt，)(g是连续泛函，则有：)]([)]([SgSgLt。6根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得10221021212)()]([drrWdrrWyNNLt（6）证毕。三、有关单位根过程的极限分布1、一般形式的泛函中心极限定理前面所介绍的泛函中心极限定理是针对独立同分布序列t而言的。如果序列t不是白噪声序列而是一般的平稳序列，则上述结论就不再成立。此时，有更一般形式的泛函中心极限定理。一般形式的泛函中心极限定理：设序列tu：,,,,21tuuu为一平稳过程，它有无穷阶MA表示形式：02211)(jjtjtttttBu(5.2.12)其系数j满足条件：0jjj(5.2.13)比绝对收敛条件略强，任意平稳ARMA过程都满足它。t独立同分布，且满足,2,1,)(,0)(2tDEtt贝弗里奇-纳尔逊分解Beveridge-Nelson(1981)提出，有011(1)TTttTttu0(1)jj，1tjtjja，其中12()jjja且0jja。故t为一平稳过程。r为闭区间[0，1]上的任一实数，记][rNNr，构造如下统计量：rNtuNrX11)((5.2.14)那么，当N时，统计量)(rXN有如下极限：)()1(11rWuNrXNLNtr(5.2.15)显然，一般形式的泛函中心极限定理是前述泛函中心极限定理的推广。根据该定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。2、有关单位根过程的极限分布假设序列ty遵从单位根过程：tttuyy1(5.1.5)7其中平稳过程tu满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。则有001(1)tttjjyy令,2,1,0,)(02juuEsjssjttj)1(若00y，那么，下列极限成立：（1）)1(121WuNNLt；（2）,2,1,),0(10221jNuNNLtjt；（3）11,0,1,2,NpttjjNuuj;（4）1)1(212111WyNNLtt;（5）NjiiLjttjWjWuyN11002202211,2,1,)1(210,)1(21;（6）101123)(drrWyNNLt；（7）,2,1,0,)()1(10123jdrrWWtuNNLjt；（8）10221212)(drrWyNNLt;（9）101125)(drrrWtyNNLt；（10）10221213)(drrrWtyNNLt.第3节Dickey—Fuller单位根检验（DF检验）前面两节已为检验单位根做了理论准备。下面我们介绍Dickey—Fuller建立的单位根检验法。任何一个序列都有其自身的真实生成过程。Dickey—Fuller假设数据序列是由下列两种模型之一产生：（1）tttyy1，(5.3.1)8（2）tttyy1；(5.3.2)其中，),0(~2iidt。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验：情形一：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.1)中检验假设：1:0H情形二：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.2)中检验假设：0;1:0H情形三：假设数