2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题

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页1第武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合}02|{2xxxA,}2|{axaxB,若}01|{xxBA,则BAA.)2,1(B.)2,0(C.)1,2(D.)2,2(2.已知复数z满足iizz,则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知}{na是各项均为正数的等比数列,11a,3223aa,则naA.23nB.13nC.12nD.22n4.已知2.0log1.0a,2.0log1.1b,2.01.1c,则a,b,c的大小关系为A.cbaB.bcaC.abcD.bac5.等腰直角三角形ABC中,2πACB,2BCAC,点P是斜边AB上一点,且PABP2,那么CBCPCACPA.4B.2C.2D.46.某学校成立了A、B、C三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是A.643B.323C.274D.2787.已知数列}{na的前n项和nnSn21232,设11nnnaab,nT为数列}{nb的前n项和.若对任意的Nn,不等式39nTn恒成立,则实数的取值范围为A.)48,(B.)36,(C.)16,(D.),16(页2第ABECDMA18.已知过抛物线xy42焦点F的直线与抛物线交于点A,B,||2||FBAF,抛物线的准线l与x轴交于点C,lAM于点M,则四边形AMCF的面积为A.425B.225C.25D.2109.如图,已知平行四边形ABCD中,60BAD,ADAB2,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成DEA1.若M为线段CA1的中点,则在ADE翻折过程中,给出以下命题:①线段BM的长是定值;②存在某个位置,使CADE1;③存在某个位置,使//MB平面DEA1.其中,正确的命题是A.①B.①③C.②③D.①②③10.函数)sin()(xAxf(0A,0,2π0)的部分图象如图所示,给出下列说法:①函数)(xf的最小正周期为π;②直线12π5x为函数)(xf的一条对称轴;③点)0,3π2(为函数)(xf的一个对称中心;④函数)(xf的图象向右平移3π个单位后得到xy2sin2的图象.其中正确说法的个数是A.1B.2C.3D.411.已知F1,F2分别为双曲线14922yx的左、右焦点,过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A,B两点,记21FAF的内切圆半径为r1,21FBF的内切圆半径为r2,则21rr的值等于A.3B.2C.3D.212.已知函数2lne)(xxxxfx,xxxxgxlne)(2的最小值分别为a,b,则A.baB.baC.baD.a,b的大小关系不确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。页3第A1CBAB1DC1EF13.6)12(xx的展开式中,3x项的系数是______.14.已知一组数据10,5,4,2,2,2,x,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则x所有可能的取值为______.15.过动点M作圆C:1)2()2(22yx的切线,N为切点.若||||MOMN(O为坐标原点),则||MN的最小值为______.16.用IM表示函数xysin在闭区间I上的最大值,若正数a满足]2,[],0[2aaaMM,则a的值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(本题12分)在ABC中,已知265AB,7AC,D是BC边上的一点,5AD,3DC.(1)求B;(2)求ABC的面积.18.(本题12分)如图,在直三棱柱111CBAABC中,ABAC,21ACABAA,D,E,F分别为AB,BC,BB1的中点.(1)证明:平面FCA11平面DEB1;(2)求二面角DEBB1的正弦值.19.(本题12分)已知椭圆E:)0(12222babyax的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点,且焦点到椭页4第0.000500.000750.001000.00125120010008006004002000金额(单位:元)频率组距圆上的点的最短距离为1.(1)求椭圆E的方程;(2)若不过原点的直线l与椭圆交于A,B两点,求OAB面积的最大值.20.(本题12分)某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额,分组如下:[0,200),[200,400),[400,600),…,[1000,1200](单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:(1)请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”.经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关?健身达人非健身达人总计男10女30总计(3)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案.方案一:每满800元可立减100元;方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为12,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.若某人打算购买1000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.附:P(kK2)0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879页5第))()()(()(22dbcadcbabcadnK.21.(本题12分)已知函数1ee)(xxfx.(1)若e)(axxf对Rx恒成立,求实数a的值;(2)若存在不相等的实数1x,2x,满足0)()(21xfxf,证明:221xx.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为tytx222,22(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为.22cos239.(1)写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程;(2)若1C与y轴交于点M,1C与2C相交于A、B两点,求||||MBMA的值.23.[选修4-5:不等式选讲](本题10分)(1)已知||||)(xaxxf,若存在实数x,使2)(xf成立,求实数a的取值范围;(2)若0m,0n,且3nm,求证:341nm.页6第A1CBAB1DC1EFGHABCD武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题:题号123456789101112答案DABDDDACBCAA二、填空题:13.24014.11,3,1715.82716.4π3或8π9三、解答题:17.(本题12分)在ABC中,已知265AB,7AC,D是BC边上的一点,5AD,3DC.(1)求B;(2)求ABC的面积.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得21cosADC,所以120ADC,从而60ADB.在ABD中,由正弦定理,得22sinB,所以45B.……………(4分)(2)由(1)知75BAD,且46275sin.所以8)33(25sin21BADADABSABD,4315sin21ADCDCDASADC,所以875355ADCABDABCSSS.……………(12分)18.(本题12分)解:(1)因为ABAC,ACDE//,所以ABDE.因为1AA平面ABC,DE平面ABC,所以DEAA1.因为AAAAB1,所以DE平面BBAA11.因为FA1平面BBAA11,所以FADE1.易证FADB11,因为DEDDB11,所以FA1平面DEB1.因为FA1平面FCA11,所以平面FCA11平面DEB1.……………(4分)(2)方法一:过B作DBBH1,垂足为H,过H作EBHG1于G,连结BG,则可证BGH为二面角DEBB1的平面角.在BDB1Rt中,求得52BH;在BEB1Rt中,求得622BG.页7第所以515sinBGBHBGH.……………………………(12分)方法二:建系,设(求)点的坐标,求两个法向量,求角的余弦,求正弦.19.(本题12分)解:(1)由,1,3cacb及222cba,得2a,3b.所以,椭圆E的方程为13422yx.……………………………(4分)(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为)0(mmkxy,代入椭圆方程,整理,得01248)34(222mkmxxk.由0,得03422mk.设),(11yxA,),(22yxB,则348221kkmxx,341242221kmxx.于是34341344)(1||2222212212kmkkxxxxkAB.又,坐标原点O到直线l的距离为21||kmd.所以,OAB的面积3434||32||21222kmkmdABS.因为21342)34(34)34(3434||22222222222kmkmkmkmkmkm,所以,3||21dABS.当直线l的斜率不存在时,设其方程为mx,同理可求得3312||21||212mmdABS.所以,OAB面积的最大值为3.……………………………(12分)20.(本题12分)解:(1)因为90000125.070000100.050000075.030000050.0100(x620200)00050.0110000100.0(元),所以,预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元.……………(2分)(2)列联表如下:…因为841.3762.470305050)40203010(10022K,因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系.……………………………………(6分)(3)若选择方案一:则需付款900元;若选择方案二:设付款X元,则X可能取值为700,800,900,1000.81)21()700(333CxP,83)21()800(223CxP,健身达人非健身达人总计男104050女203050总计3070100页8第83)21()900(313CxP,81)21()1000(303CxP,所以850811000839008380081700)(XE(元)因为900850,所以选择方案二更划算.……………………………(12分)21.(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