第15课时 二次函数与一元二次方程

数学苏科版第10课时平面直角坐标系与函数第11课时一次函数的图象与性质第12课时一次函数的应用第13课时反比例函数第14课时二次函数的图象及其性质第15课时二次函数与一元二次方程第16课时二次函数的应用第15课时二次函数与一元二次方程第15课时┃考点聚焦考点聚焦考点1二次函数与一元二次方程的关系考点聚焦归类探究回归教材抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0有无实根的情况2个Δ0______________实根1个Δ＝0_______________实根没有Δ0________实根两个不相等两个相等没有第15课时┃考点聚焦考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃考点聚焦项目字母字母的符号图象的特征b2－4acb2－4ac＝0与x轴有惟一交点(顶点)b2－4ac0与x轴有两个不同交点b2－4ac0与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c0，即x＝1时，y0若a－b＋c0，即x＝－1时，y0考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃考点聚焦考点3二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1：考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃考点聚焦图15－1考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃考点聚焦[注意]确定抛物线平移后的关系式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．二次函数与一元二次方程之间的关系；2．图象法解一元二次方程；3．二次函数与不等式(组)．探究一、二次函数与一元二次方程归类探究第15课时┃归类探究例1．[2013•苏州]已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3B考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析∵二次函数的关系式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是x＝32.又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．二次函数图象的平移规律；2．利用平移求二次函数图象的关系式．探究二、二次函数图象的平移第15课时┃归类探究例2．[2013•上海]如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的关系式是()A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋3C考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析根据题意选项A应该是向右平移1个单位，选项B应该是向左平移1个单位，选项D应该是向上平移1个单位，故选C.考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究方法点析1．采用由“点”带“形”的方法．图象在平移时，图象上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决．2．平移的变化规律为：(1)上下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(或向下)平移m(m0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k＋m(或y＝a(x－h)2＋k－m)．(2)左右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(或向右)平移n(n0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋n)2＋k(或y＝a(x－h－n)2＋k)．考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究例3、[2012·广安]如图15－2，把抛物线y＝12x2平移得到抛物线m.抛物线m经过点A(－6，0)和原点(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．图15－2272考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A(－6，0)，∴平移后的抛物线对称轴为x＝－3，得出二次函数关系式为：y＝12(x＋3)2＋h，考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析将(－6，0)代入得出：0＝12(－6＋3)2＋h，解得h＝－92，∴点P的坐标是－3，－92.根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝3×－92＝272.故答案为272.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，与坐标轴的交点情况与a、b、c的关系；2．图象上的特殊点与a、b、c的关系．探究三、二次函数的图象特征与a、b、c之间的关系第15课时┃归类探究例4．[2013•烟台]如图15－3所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝－1，且过点(－3，0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，是抛物线上的两点，则y1＞y2.其中说法正确的是()A．①②B．②③C．①②④D．②③④图15－3C考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析∵二次函数图象的开口向上，∴a＞0.∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0.∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，∴－b2a＝－1.∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a－b＝2a－2a＝0，∴②正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)，∴与x轴的另一个交点的坐标是(1，0)，∴把x＝2代入y＝ax2＋bx＋c得y＝4a＋2b＋c＞0，∴③错误；考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究方法点析二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点及对称轴的位置，确定a、b、c及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入根据图象确定y的符号．解析∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3，y1)，根据当x＞－1时，y随x的增大而增大，∵52＜3，∴y2＜y1，∴④正确．故选C.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：二次函数的图象与性质的综合运用．探究五、二次函数的图象与性质的综合运用第15课时┃归类探究例5．[2012•连云港]如图15－4，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A的对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．图15－4考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的关系式．(2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可．考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究解析(1)因为四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，所以点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得3＝c，3＝－4＋2b＋c，解之得c＝3，b＝2.所以抛物线所对应的函数关系式为y＝－x2＋2x＋3.(2)因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以抛物线的顶点坐标为(1，4)．所以△ABD中AB边上的高为4.令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解之得x1＝－1，x2＝3，所以AB＝3－(－1)＝4，于是△ABD的面积为12×4×4＝8.考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃归类探究方法点析(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键．(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的关系式．(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．解析(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，又由(2)可知OA＝1，所以点A的对应点G的坐标为(3，2)．当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上.考点聚焦归类探究回归教材教材母题学会“读”图第15课时┃回归教材回归教材从二次函数y＝x2－4x＋3的图象(图15－5)，可以“读”出许多信息．比如图象告诉我们：当x＝2时，y有最小值，最小值是－1；当x2时，y随x增大而减小；当x2时，y随x增大而增大．图15－5考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃回归教材图象还告诉我们：它与x轴交于两点M(1，0)、N(3，0)，并且在点M左侧和点N右侧的图象都在x轴的上方，在这两点之间的图象在x轴的下方．这就是说：当x＝1，x＝3时，y＝0.也就是说，x＝1，x＝3是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；当x1或x3时，图象上所有点的纵坐标都大于0，也就是说，当x1或x3时，y0，即x2－4x＋30；当1x3时，图象上所有点的纵坐标都小于0，也就是说，当1x3时，y0，即x2－4x＋30.考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃回归教材中考预测1．抛物线y＝(x＋3)(x－1)的对称轴是直线()A．x＝1B．x＝－1C．x＝－3D．x＝3图15－6B考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃回归教材中考预测2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图15－6所示，对称轴x＝－1/2.下列结论中，正确的是()A．abc0B．a＋b＝0C．2b＋c0D．4a＋c2bD考点聚焦归类探究回归教材第15课时┃回归教材解析A选项，∵图象开口向上，∴a＞0.∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在y轴左侧，∴－b2a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B选项，∵对称轴：x＝－b2a＝－12，∴a＝b，故本选项错误；C选项，当x＝1时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误；D选项，∵对称轴为x＝－12，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜－2，∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故本选项正确．故选D.考点聚焦归类探究回归教材