第11章无穷级数

210第十一单元无穷级数一、内容提要与基本要求内容提要一、常数项级数1．基本概念（1）无穷级数：给定序列{nu},称式子121nnuuu)(Iun为无穷级数（简称级数）.（2）收敛与发散：令niinuS1，如果SSnnlim，则称级数（I）收敛，其和为S，如果nnSlim不存在，则称级数（I）发散.（3）绝对收敛与条件收敛，若1||nnu收敛，收称级数1nnu绝对收敛；若1nnu收敛，但1||nnu发散，则称级数1nnu条件收敛.2．基本性质211（1）1)0(nnkku与1nnu具有相同敛散性.（2）设Sunn1,1nnv,则1)(nnnSvu)'2(若1nnu收敛，1nnv发散，则1)(nnnvu发散.（3）级数前面加、减有限项不改变敛散性.（4）收敛级数加括号所得新级数仍收敛，且其和不变.)'4(加括号后的级数若发散，去括号后级数仍发散.（5）级数收敛必要条件:若1nnu收敛，则0limnnu3．几个重要级数的收敛性（1）几何级数02nnnaqaqaqaaq1q时收敛，1;1qqaS时发散.（2）调和级数11312111nnn发散（3）P－级数11312111nppppnnP1时收敛，P≤1时发散.（4）1111)1(312111)1(nnnnn收敛（条件收敛）.4．审敛法212（1）正项级数审敛法正项级数:)0(1nnnuu①比值法（根值法）)(,1.,1,1)lim(lim1不能判定时级数发散时级数收敛时nnnnnnuuu②比较法比较形式：设1nnu、1nnv均为正项级数1°若1nnv收敛，且nnkvu（k0,n从某项开始），则1nnu收敛；2°若1nnv发散，且nnkvu（k0,n从某项开始），则1nnu发散；极限形式：设1nnu、1nnv均为正项级数，213若lvunnnlim1°l0时，1nnv与1nnu同敛散2°0l时，若1nnv收敛，则1nnu收敛3°l时，若1nnv发散，则1nnu发散定理设正项级数1nnu且0l1P时，1nnu收敛若lunnnlim1P时，1nnu发散③基本定理正项级数1nnu收敛部分和数列}{nS有界.（2）交错级数审敛法交错级数:1,)1(nnnu),2,1,0(nun(Ⅱ)莱布尼兹准则：若交错级数(Ⅱ)满足条件：2140lim),2,1(1nnnnunuu②①则①该交错级数收敛，且其和1uS,②1nnur（3）任意项级数审敛法①绝对收敛定理如果1||nnu收敛，则1nnu收敛.②任意项级数的比值法若)(,1,1,1||lim111不能判定发散绝对收敛lululluunnnnnnn③利用级数的性质及级数收敛的必要条件审敛.④级数收敛定义.常数项级数审敛步骤：（1），需进一步判别或不易求发散)(,0,0limnnnuu（2）确定nu的类型215①设nu为正项级数1°un含有n!因子或为n个因子乘积（或商）的形式，一般采用比值法.un中含有n为指数因子，用根值法；2°若比值法（根值法）失效，用比较法，（先用极限形式，若极限不好求再用比较形式）.3°比较法不宜行，用级数基本性质或用定义（即nnSlim是否存在）判别.注正项级数加、去括号（去括号后仍为正项级数）不改变敛散性，若收敛其和不变。②设11)1(nnnu为交错级数：1°莱布尼兹准则2°若不满足莱布尼兹准则的条件，一般用绝对收敛定理（正项级数审敛法）或用级数基本性质及收敛定义.注莱布尼兹准则的条件：1nnuu是充分的，即交错级数不满足该条件仍可能收敛.③设nu为任意项级数.1°绝对收敛定理或任意项级数比值法.2°级数基本性质或收敛定义.216二、幂级数1．函数项级数的一般概念2．幂级数定义12210(nnnnnxxaxaxaaxa)一般形式：00)(nnnxxa3．幂级数的收敛性（1）阿贝尔定理（2）收敛半径与收敛区间①收敛半径定义：如果幂级数0nnnxa当|x|R时绝对收敛，|x|R时发散，则称正数R为其收敛半径.规定：如果幂级数0nnnxa在),(内收敛，则R，如果幂级数0nnnxa仅在x=0点收敛，则R=0②收敛半径R的求法1°不缺项2170R,R,01R,0|aa|limn1nn2°缺项，看作一般的函数项级数，用比值法；|)()(|lim1xuxunnn发散绝对收敛RxRxx||1,||1)(则R为收敛半径.③收敛区间的求法1°求R2°端点审敛，(对于一般形式00)(nnnxxa,其收敛区间的端点为(x0±R).4．幂级数的运算性质（1）设0010nnnnnxgxbRRxfxa)(,)(R=R2,则①010)()(nnnnnnnnnnxfxbaxbxa218),min(),(21RRRxg②0011100)(nnnnnnnnnnnxbababaxbxa),min()()(21RRRxgxf③0000)0()()(nnnnnnnnnbxgxfxcxbxa（系数cn利用幂级数乘法法求；R要重新求，一般比R1、R2小得多.）（2）设0)(nnnxsxaR0,则①s(x)在(-R,R)内连续,若0nnnxa在x±R处收敛,则s(x)在Rx处右连续，在x=R处左连续.②s(x)在),(RR内可导,且有逐项求导公式:0011,)'()'()('nnnnnnnnnxnaxaxaxsR不变.③s(x)在),(RR内可积,且有逐项积分公式:xxnnxnnnndxxadxxadxxs00000)()(01,1nnnxnaR不变.说明:①幂级数逐项求导,逐项积分可任意次,且R不变,端点要219重新审敛.②一般形式幂级数00)(nnnxxa逐项积分时,积分下限为x0.5．函数展开成幂级数（1）泰勒级数①f（x）在x0点泰勒级数))((')()(!)(000000)(xxxfxfxxnxfnnnnnxxnxfxxxf)(!)()(!2)(00)(200②函数展开成泰勒级数的充要条件定理设f(x)在x0点某邻域U(x0,R)内具有任意阶导数，则0000)(||,)(!)()(nnnRxxxxnxfxf的充要条件是0)(limxRnn,其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于x与x0之间).说明若函数f(x)能展开成幂级数,则其表示式唯一.（2）几个重要函数的麦克劳林展开式220①02,111nnnxxxxx)1,1(②02),(,!!!21nnnxnxnxxxe③)!12()1(!5!2sin1253nxxxxxnn012),(,)!12()1(nnnnx④)!2()1(!4!21cos242nxxxxnn02),(,)!2()1(nnnnx⑤nxxxxxnn132)1(32)1ln(11]1,1(,)1(nnnnx⑥2!2)1(1)1(xmmmxxm221mxnnmmmn(,!)1()1(为任意常数）收敛半径R=1,端点敛散性与m取值有关,其收敛区间为:m0为[-1,1];-1m0为(-1,1];m≤-1(为(-1,1)（3）函数展开成幂级数的方法①直接法(根据函数展开成幂级数的充要条件)②通常用的方法——间接法(根据函数展开成幂级数的唯一性,利用已知六个函数的幂级数展开式,通过将f(x)恒等变形、变量替换、幂级数的四则运算或逐项求导、逐项积分,将f(x)展开成幂级数.)注意:将函数展开成幂级数,要写出收敛区间.（4）函数的幂级数展开式在近似计算中的应用.6．幂级数求和函数注：常用的方法是通过逐项求导，逐项积分将幂级数化为几何级数.三、付立叶级数1．付立叶级数与付立叶系数三角级数10),sincos(2nnnlxnblxnaa其中llnndxlxnxfla)2,1,0(cos)(1llnndxlxnxflb)2,1(sin)(1称为f(x)的付立叶级数,an、bn称为付立叶系数。（其中l0为222任意实数）.2．收敛定理——狄里克雷充分条件定理设f(x)是周期为2l的周期函数.在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多有有限个极值点,则f(x)的付立叶级数在(-∞,+∞)内收敛,且10)sincos(2nnnlxnblxnaalxlflfxfxxfxfxfxxf,2)0()0()(,2)0()0()(),(的间断点为的连续点为3.正弦级数与余弦级数如果f(x)是奇函数,且满足收敛定理的条件,则f(x)的付立叶级数为正级弦数:0sinnnxlnb,其中;)2,1(sin)(20lnndxlxnxflb如果f(x)是偶函数,且满足收敛定理的条件,则f(x)的付立叶级数为余弦级数:10cos2nnxlxnaa，其中223lnndxlxnxfla0);2,1,0(cos)(24.函数展开成付立叶级数的步骤(1)审查f(x)是否满足收敛定理条件①周期性(T=2l);对于定义在),[ll上的函数作周期延拓.②连续性(可画f(x)的草图找间断点,周期函数若有间断点则有无穷多个)对于定义[-l,l)上的函数在x=±l处是否连续，要看延拓后的函数.(2)判断f(x)的奇偶数对于定义在[0,l]上的函数展开成正(余)弦级数,则要作奇(偶)延拓,再作周期延拓,(在端点的连续性要看延拓后的函数).(3)求付氏系数注意:a0或个别系数an,bn有时要单求.(4)写出付氏系数,并注明在何处收敛于f(x).基本要求1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念.2.了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件.3.掌握几何级数和P级数(包括调和级数的收敛性).4.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法.5.掌握交错级数的莱布尼兹定理,会估计交错级数的截断224误差.6.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与收敛的关系.7.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.8.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求).9.了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质.10.了解函数展开为泰勒级数的充要条件.11.掌握x11、xe、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)m的麦克劳林展开式，并会利用这些展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数.12.了解幂级数在近似计算中的简单应用.13.了解函数展开成付立叶级数的狄里克雷充分条件,会将定义在],[、],[ll上的函数展开成付立叶级数,并会将定义在],0[l]上的函数展开成正弦或余弦级数.(二)练习题一、填空题1．若1nna收敛，,21nnaaaS则)2(lim11nnnnSSS___