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第1页，共2页2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}，𝐵={𝑥|𝑥2≤1}，则𝐴∪𝐵=()A.{𝑥|𝑥≥1}B.{𝑥|𝑥≥−1}C.{𝑥|𝑥≤1}D.{𝑥|𝑥≤−1}2.12−𝑖=()A.−25+15𝑖B.−25−15𝑖C.25+15𝑖D.25−15𝑖3.“𝛼=𝜋3“是“𝑐𝑜𝑠𝛼=12“成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为𝜋，则球的表面积为()A.8𝜋3B.32𝜋3C.8𝜋D.8√2𝜋35.函数𝑓(𝑥)=12𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥的最小值是()A.14B.12C.−12D.−146.(12𝑥+1)10的展开式中𝑥3的系数为()A.5B.10C.15D.207.若过点𝐴(4,0)的直线l与曲线(𝑥−2)2+𝑦2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A.[−√3,√3]B.(−√3,√3)C.[−√33,√33]D.(−√33,√33)8.设函数𝑓(𝑥)={ √1−𝑥2,(|𝑥|≤1)|𝑥|,(|𝑥|1)，若方程𝑓(𝑥)=𝑎有且只有一个实根，则实数a满足()A.𝑎0B.0≤𝑎1C.𝑎=1D.𝑎19.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|𝐵𝐶|=2，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|，则|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=()A.12B.1C.2D.410.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.若𝑎+𝑏=𝑎𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑏𝑡𝑎𝑛𝐵，则角𝐶=()A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.𝜋211.设𝑓′(𝑥)是函数𝑓(𝑥)的导函数，且𝑓′(𝑥)2𝑓(𝑥)(𝑥∈𝑅)，𝑓(12)=𝑒(𝑒为自然对数的底数)，则不等式𝑓(𝑙𝑛𝑥)𝑥2的解集为()A.(0,𝑒2)B.(0,√𝑒)C.(1𝑒,𝑒2)D.(𝑒2,√𝑒)12.已知1𝑚4，𝐹1，𝐹2为曲线C：𝑥24+𝑦24−𝑚=1的左、右焦点，点P为曲线C与曲线E：𝑥2−𝑦2𝑚−1=1在第一象限的交点，直线l为C在点P处的切线，若三角形𝐹1𝑃𝐹2的内心为点M，直线𝐹1𝑀与直线l交于N点，则M，N横坐标之差为()A.−1B.−2C.−3D.随m的变化而变化二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知𝐴(1,1)，𝐵(2,−4)，𝐶(𝑥,−9)，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗//𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑥=______．14.函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+√3𝑐𝑜𝑠𝑥在区间[0,𝜋2]上的最大值为______．15.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥+𝑥+2𝑒𝑥+1+𝑠𝑖𝑛𝑥，则𝑓(−5)+𝑓(−4)+𝑓(−3)+𝑓(−2)+𝑓(−1)+𝑓(0)+𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)的值是______16.过抛物线𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，又过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为D，C，若梯形ABCD的面积为6√2，则𝑝=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛0(𝑛∈𝑁∗)，公比𝑞∈(0,1)，且𝑎1𝑎5+2𝑎3𝑎5+𝑎2𝑎8=25，又𝑎3和𝑎5的等比中项为2．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，求数列{𝑆𝑛}的通项公式；(3)当𝑠11+𝑠22+𝑠33+⋯+𝑠𝑛𝑛最大时，求n的值．18.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图组号分组频数1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合计100第2页，共2页(Ⅰ)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(Ⅱ)求频率分布直方图中的a，b的值．19.如图，在四棱锥𝑃−𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是矩形，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=𝑎，𝑃𝐴⊥底面ABCD．(1)当a为何值时，𝐵𝐷⊥平面PAC？证明你的结论；(2)当𝑃𝐴=12𝑎=2时，求面PDC与面PAB所成二面角的正弦值．20.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的左，右焦点分别为𝐹1(−2,0)，𝐹2(2,0)，点𝑃(−1,−√153)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|𝐹1𝑀|=|𝐹1𝑁|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥2−𝑥+𝑙𝑛𝑥，(Ⅰ)若在函数𝑓(𝑥)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(Ⅱ)当0𝑚≤12时，若曲线C：𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥=1处的切线L与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值或取值范围．22.在极坐标系中，已知曲线𝐶1：𝜌=2𝑐𝑜𝑠𝜃和曲线𝐶2：𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线𝐶1和曲线𝐶2的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P是曲线𝐶1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线𝐶2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥|+|𝑥−1|．(Ⅰ)若𝑓(𝑥)≥|𝑚−1|恒成立，求实数m的最大值M；(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下，正实数a，b满足𝑎2+𝑏2=𝑀，证明：𝑎+𝑏≥2𝑎𝑏．