高考复习之函数与导数100题经典大题汇编

2012届数学二轮复习12012届高三《函数与导数解答题》1.已知2()ln,()3.fxxxgxxax（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切(0,),2()()xfxgx≥恒成立，求实数a的取值范围；解：（1）'()=ln1fxx由'()0fx得1xe当'1(0,),()0,()xfxfxe时单调递减；当'1(+),()0,()xfxfxe，时单调递增；min11()()fxfee（2）232ln3,2lnxxxaxaxxx则设'23(3)(1)()2ln(0),()xxhxxxxxxx则h①(0,1),()0,()xhxhx单调递减，②(1,),()0,()xhxhx单调递增，所以min()(1)4hxh，对一切(0,),2()()xfxgx恒成立，所以min()4ahx2.已知函数)(ln2)(),()(RbxxbxgRaaxxf，)()()(xgxfxG，且(1)0G，()Gx在1x的切线斜率为0。（1）求,ab；（2）设/1()2,naGnn求证：121111118naaa解：（1）()2ln(0)bGxaxxxx，由(1)0G得：0ab/22()bGxaxx又/(1)0G，则2ab1,1ab…………4分（2）/212()1(0)Gxxxx，/1()2,naGnn21nann……5分2111nann，易证：1n时，111118a；2n时12111118aa；2012届数学二轮复习23n时，221111111()12(2)(1)321nannnnnnnn121111111111111(1)34253621naaann11111111()361118nnn3.已知函数)0(3ln)(aRaaxxaxf且．（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）若函数)(xfy的图像在点))2(,2(f处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于任意的2,1t，函数)('2)(23xfmxxxg在区间)3,(t上总存在极值？（Ⅲ）当2a时，设函数32)2()(xepxpxh，若在区间e,1上至少存在一个0x，使得)()(00xfxh成立，试求实数p的取值范围．解：（Ι）由xxaxf)1()('知：当0a时，函数)(xf的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(；当0a时，函数)(xf的单调增区间是),1(，单调减区间是)1,0(；………………4分（Ⅱ）由212af'2a,∴223fxlnxx，22f'xx.………………………6分故3232()'()(2)222mmgxxxfxxxx，∴2'()3(4)2gxxmx,∵函数)(xg在区间)3,(t上总存在极值，∴0)('xg有两个不等实根且至少有一个在区间)3,(t内…………7分又∵函数)('xg是开口向上的二次函数，且02)0('g，∴0)3('0)('gtg…………8分由4320)('ttmtg，∵)(tH432tt在2,1上单调递减，所以9)1()(minHtH；∴9m，由023)4(27)3('mg，解得337m；综上得：379.3m所以当m在)9,337(内取值时，对于任意的2,1t，函数)('2)(23xfmxxxg在区间)3,(t上总存在极值。………………………9分（Ⅲ）.32ln2)(,2xxxfa令()()()Fxhxfx，则2012届数学二轮复习3()Fx2(2)32ln23pepxxxx22lnpepxxxx.①当0p时，由ex,1得0ln22,0xxexppx，从而()0Fx,所以，在e,1上不存在0x使得)()(00xfxh；…………………11分②当0p时，2222'()pxxpeFxx,1,,220xeex，20,'()0pxpFx在1,e上恒成立，故()Fx在1,e上单调递增。max()()4.pFxFepee……………13分故只要40,ppee，解得24.1epe综上所述，p的取值范围是24,1ee………14分4.设a∈R，函数1()2xfxe（21axa），其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）判断函数()fx在R上的单调性；（Ⅱ）当10a时，求函数)(xf在[1，2]上的最小值．解：（Ⅰ）)12(21221)1(21)(22aaxaxeaxeaaxexfxxx．……2分由于021xe,只需讨论函数12)(2aaxaxxg的符号:当a=0时,01)(xg，即0)(xf，函数)(xf在R上是减函数；……4分当a0时,由于04)(4422aaaa，可知0)(,0)(xfxg即，函数)(xf在R上是减函数；……6分当a0时,解0)(xg得aax1，且aaaa11．在区间aa1,和区间,1aa上，0)(,0)(xfxg即，函数)(xf是增函数；在区间aaaa1,1上，0)(,0)(xfxg即，函数)(xf是减函数综上可知：当a≥0时，函数)(xf在R上是减函数；当a0时,函数)(xf在区间aa1,上是增函数；在区间aaaa1,1上是减函数；在区间,1aa上是增函数．（Ⅱ）当01a时，21,11aaaa,所以,函数)(xf在区间[1，2]上是减函数，其最小值是2215)2(eaf．5.已知函数14341ln)(xxxxf．（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；2012届数学二轮复习4（Ⅱ）设42)(2bxxxg，若对任意)2,0(1x，2,12x，不等式)()(21xgxf恒成立，求实数b的取值范围．（II）若对任意)2,0(1x，2,12x，不等式)()(21xgxf恒成立，问题等价于maxmin)()(xgxf，．．．．．．．．．5分由（I）可知，在(0,2)上，1x是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以min1()(1)2fxf；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分2()24,1,2gxxbxx当1b时，max()(1)25gxgb；当12b时，2max()()4gxgbb；当2b时，max()(2)48gxgb；问题等价于11252bb或212142bb或21482bb解得1b或1412b或b即142b，所以实数b的取值范围是14,26.已知函数2()()xfxaxxe，其中ｅ是自然数的底数，aR。（１）当0a时，解不等式()0fx；（２）若()fx在［－１，１］上是单调增函数，求a的取值范围；（３）当0a时，求整数ｋ的所有值，使方程()2fxx在［ｋ，ｋ＋１］上有解。解：⑴因为e0x，所以不等式()0fx即为20axx，又因为0a，所以不等式可化为1()0xxa，所以不等式()0fx的解集为1(0,)a．………………………………………4分⑵22()(21)e()e[(21)1]exxxfxaxaxxaxax，①当0a时，()(1)exfxx，()0fx≥在[11]，上恒成立，当且仅当1x时取等号，故0a符合要求；………………………………………………………6分②当0a时，令2()(21)1gxaxax，因为22(21)4410aaa，所以()0gx有两个不相等的实数根1x，2x，不妨设12xx，2012届数学二轮复习5因此()fx有极大值又有极小值．若0a，因为(1)(0)0gga，所以()fx在(11)，内有极值点，故()fx在11，上不单调．………………………………………………………8分若0a，可知120xx，因为()gx的图象开口向下，要使()fx在[11]，上单调，因为(0)10g，必须满足(1)0,(1)0.gg≥≥即320,0.aa≥≥所以203a≤.综上可知，a的取值范围是2[,0]3．………………………………………10分⑶当0a时,方程即为e2xxx，由于e0x，所以0x不是方程的解，所以原方程等价于2e10xx，令2()e1xhxx，因为22()e0xhxx对于,00,x恒成立，所以()hx在,0和0,内是单调增函数，……………………………13分又(1)e30h，2(2)e20h，31(3)e03h，2(2)e0h，所以方程()2fxx有且只有两个实数根，且分别在区间12，和32，上，所以整数k的所有值为3,1．………………………………………………………16分7.已知函数(),()lnxxfxeaxgxex（1）设曲线()yfx在1x处的切线与直线(1)1xey垂直，求a的值（2）若对任意实数0,()0xfx恒成立，确定实数a的取值范围（3）当1a时，是否存在实数0[1,]xe，使曲线C：()()ygxfx在点0xx处的切线与y轴垂直？若存在，求出0x的值，若不存在，说明理由解：（1）()xfxea，因此()yfx在1,(1)f处的切线l的斜率为ea，又直线(1)1xey的斜率为11e，∴（ea）11e＝－1，∴a＝－1.（2）∵当x≥0时，()xfxeax0恒成立，∴先考虑x＝0，此时，()xfxe，a可为任意实数；又当x＞0时，()xfxeax0恒成立，则xeax恒成立，设()hx＝xex，则()hx＝2(1)xxex，当x∈(0,1)时，()hx＞0，()hx在(0,1)上单调递增，当x∈(1,＋∞)时，()hx＜0，()hx在(1,＋∞)上单调递减，故当x＝1时，()hx取得极大值，max()(1)hxhe，2012届数学二轮复习6∴实数a的取值范围为,e．（3）依题意，曲线C的方程为lnxxyexex，令()ux＝lnxxexex，则()ln1xxxeuxexex设1()ln1vxxx，则22111()xvxxxx，当1,xe，()0vx，故()vx在1,e上的最小值为(1)0v，所以()vx≥0，又0xe，∴1()ln11xuxxex＞0，而若曲线C：()()ygxfx在点0xx处的切线与y轴垂直，则0()ux＝0，矛盾。所以，不存在实数01,xe，使曲线C：()()ygxfx在点0xx处的切线与y轴垂直.8.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).（1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1≥0,x2≥0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)