置信区间(详细定义及计算)

1第七章置信区间的概念一、置信区间的概念二、数学期望的置信区间三、方差的置信区间2这种形式的估计称为区间估计.前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.范围通常用区间的形式给出的。较高的可靠程度相信它包含真参数值.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作1，这里是一个很小的正数，称为显著水平。3),,,,(2111nXXX),,,(2122nXXX)(21若由总体X的样本X1,X2,…Xn确定的],[21则称为随机区间。两个统计量随机区间与常数区间),(ba不同，其长度与在数轴上的位置与样本nXXX,,,21有关。当一旦获得样本值nxxx,,21那么，),,,(211nxxx),,(212nxxx都是常数。],[21为常数区间。41}{21P若满足设是总体X的一个未知参数，,10的置信区间.121和（双侧置信区间）.的置信水平（置信度）为分别称为置信下限和置信上限为显著水平.1为置信度，则称区间是],[21],,[21若存在随机区间对于给定的5置信水平的大小是根据实际需要选定的.1}{21P根据一个实际样本，],[21，使一个尽可能小的区间由于正态随机变量广泛存在，指标服从正态分布，特别是很多产品的我们重点研究一个正态总体情形由给定的置信水平，我们求出975.01即取置信水平或0.95，0.9等.例如，通常可取显著水平等.,1.0,05.0,025.0数学期望和方差的区间估计。26设nXXX,,,21为总体),(~2NX的样本，2,SX分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。个区间，7设),(~2NX),(~2nNXnXDXE2则随机变量)1,0(~2NnXZ1、已知σ2时，μ的置信区间令22{}1XPzn22z22z822{}1XPzn222{}1XPzzn],[22znXznX这就是说随机区间它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。由定义可知，此区间即为μ的置信区间。22{}1PzXznn1}{22znXznXP22z22z9],[22znXznX置信区间也可简记为][2znX它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。由定义可知，此区间即为μ的置信区间。其置信度为1－α。置信下限2znX置信上限2znX22z22z1016195.0105.0n查表得0.02521.96zz若由一个样本值算得样本均值的观察值20.5x则得到一个区间(5.200.49)(4.71,5.69)我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：若反复抽样多次，每个样本值（n=16)按公式1.961.96(,)44xx即(0.49)x确定一个区间。],[22znXznX11(0.49,0.49)xx确定一个区间。在这么多的区间内包含μ的占0.95,不包含μ的占0.05。本题中(4.71,5.69)，属于那些包含μ的区间的可信程度为0.95.或“该区间包含μ”这一事实的可信程度注：μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。为0.95.12当n充分大时，无论X服从什么分布，都近似有)1,0(~NnDXEXXZμ的置信区间是总体),(~2NX的前提下提出的。均可看作EX的置信区间。],[22znXznX13设总体X~N(μ,0.09)，有一组样本值：12.6，13.4，12.8，13.2，求参数μ的置信度为0.95的置信区间.解μ的置信区间为22[,]XzXznn00代入样本值算得,[12.706，13.294].得到μ的一个区间估计为注：该区间不一定包含μ.0.02521.96zz有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,0.30.3[13196,131.96]22.13x1405.0可以取标准正态分布上α分位点－z0.04和z0.01,则又有0.040.012{}0.95XPzzn0.010.04{}0.95PXzXznn则μ的置信度为0.95的置信区间为0.010.04[,]XzXznn与上一个置信区间比较，同样是95.01其区间长度不一样，上例0.025123.920.984zn比此例0.040.0111()4.081.0244zz短。01.001.0z04.004.0z15第一个区间为优（单峰对称的）。可见，像N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以][2znX的区间长度为最短，我们一般选择它。若以L为区间长度，则22znL可见L随n的增大而减少（α给定时），有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或0.9.对于1－α不同的值，可以得到不同的置信区间。16估计在区间内.]ˆ,ˆ[21这里有两个要求:),,(ˆˆ2111nXXX只依赖于样本的界限(构造统计量)可见，对参数作区间估计，)ˆˆ(21就是要设法找出两个),,(ˆˆ2122nXXX一旦有了样本，就把2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度12ˆˆ尽可能短，或能体现该要求的其它准则.]ˆ,ˆ[211.要求很大的可能被包含在区间内，}ˆˆ{21P就是说，概率即要求估计尽量可靠.要尽可能大.可靠度与精度是一对矛盾，条件下尽可能提高精度.一般是在保证可靠度的17已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）服从正态分布),1,(~NX其中μ未知,现在抽取25个样品做试验，得数据后计算得62511nkkxx取05.0(10.95),求μ的置信区间。解0.02521.96zz625xn][2znx]392.06[]96.1516[所求为[5.608,6.392].18中随机地抽查了9人，其高度分别为：；，置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值由样本值算得：解：已知.05.0,9,70n.115)110120115(91x，由此得置信区间：查正态分布表得临界值96.12Z57.119,43.1109/796.1115,9/796.1115已知幼儿身高现从5～6岁的幼儿115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;],[22znXznX2~(,),XN19当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ2代替σ2。已知)1(~2ntnSXT则对给定的α，令1)}1({22ntnSXP查t分布表，可得)1(2nt的值。则μ的置信度为1－α的置信区间为1)}1()1({22ntnSXntnSXP)]1(),1([22ntnSXntnSX)]1([2ntnSX2040名旅游者。解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的置信区间。选取统计量为05.0由公式知μ的置信区间为查表0227.2)39()39(025.0205.0tt则所求μ的置信区间为]95.113,05.96[为了调查某地旅游者的消费额为X，随机访问了得平均消费额为105x元，样本方差2228s设求该地旅游者的平均消费额μ的置信区间。)1(~2ntnSXT)]1([2ntnSX若σ2＝25μ的置信区间为][2znX]96.1405105[即]55.106,45.103[),(~2NX21用某仪器间接测量温度，重复测量5次得0000012751260124512651250求温度真值的置信度为0.99的置信区间。解设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个正态随机变量.EX问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。1259]25105150[511250x4570])12591275()12591250[(151222s339.55.2852s01.041n由公式查表6041.4)4()4(005.0201.0tt则所求μ的置信区间为]58.241259,58.241259[)]1([2ntnSX22解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的置信区间。05.0由公式知μ的置信区间为查表306.2)8()8(025.0205.0tt则所求μ的置信区间为]1.6889,9.6650[为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位kg/cm2),22286720sx设钢索所能承受的张力X，分别估计这批钢索所能承受的平均张力的范围与所能承受的平均张力。)]1([2ntnSX随机选取了9个样本作试验，28[67202.306]3即则钢索所能承受的平均张力为6650.9kg/cm2由试验所得数据得),(~2NX22286720sx23下面我们将根据样本找出σ2的置信区间，这在研究生产的稳定性与精度问题是需要的。已知总体),(~2NX我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与σ2差多少？容易看出把22S看成随机变量，又能找到它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。22S的概率分布是难以计算的，而2222(1)~(1)nSn对于给定的).10(1)}1()1()1({2222221nSnnP)1(22n2pyx)1(221n224212(1)0()2npydy)1(22n2pyx)1(221n21)}1()1()1({2222221nSnnP22(1)()2npydy1})1()1()1()1({22122222nSnnSnP则得到σ2随机区间])1()1(,)1()1([2212222nSnnSn以的概率包含未知方差σ2，1这就是σ2的置信度为1－α的置信区间。25某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）01.1203.1216.1209.1208.1201.1212.1215.12怎样估计该车床加工零件长度的方差。解先求06.1201.1208.1211.1207.1213.1206.1215.12)05.0(075.12]06.012.015.0[16112x])075.1206.12()075.1215.12[(151222sσ2的估计值0024.0]5.7161215[15100001222或][11)(11122122niiniixnxnxxns查表262.6)15(2975.0488.27)15(2025.026]00588.0,00133.0[所求标准差σ的置信度为0.95的置信区间由])1()1(,)1()1([2212222nSnnSn]0765.0,0365.0[得])1()1(,)1()1([2212222nsnnsn]262.60024.015,488.270024.015[得27为了估计灯泡使用时数（小时）的均值μ和解)05.0(查表7.2)9(2975.019)9(2025.0