专题06 轨迹方程求解方法-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)

Gothedistance【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。【方法点评】方法一直接法使用情景：可以直接列出等量关系式解题步骤：第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。例1已知定点BA,,且02＞ccAB，如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值0＞aa，求点P的轨迹方程，并说明方程表示的轨迹。【答案】当1a时，方程为0x，P点的轨迹是y轴；当1a时，P点的轨迹是以221,01aca为圆心，以221aca为半径的圆。Gothedistance【点评】题目中无直角坐标系时，要根据条件建立适当的坐标系使所涉及的点的坐标尽量简单，这样有利于方程的化简。一般选取题设中的定直线为坐标轴，定点在坐标轴上。【变式演练1】已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别为7和1.（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上一点，OMOP,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。【答案】（1）221167xy（2）当34时，化简得29112y，所以在M的轨迹方程为47443yx，轨迹是两条平行于x轴的线段。当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x的部分。当314，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x的部分。当1，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。Gothedistance例2设直线l垂直于x轴，且于椭圆2224xy交于,BA两点，P是l上满足PAPB的点，求点的轨迹方程。【答案】点P的轨迹方程为221,2263xyx【点评】求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性，由于化简过程破坏不了方程的同解性，因此要胡子一补上遗漏的点或去掉多余的点。【变式演练2】已知定点6,0,2,0AB，O为原点，动点P与线段,AOBO所张的角相等，求动点P的轨迹方程。【答案】动点P的轨迹为22600xyxx或0y（6x或2x）Gothedistance方法二定义法[来源:学科网ZXXK]使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义解题步骤：第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双[来源:Z*xx*k.Com]曲线、抛物线等）第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。例1已知椭圆的焦点是PFF，，21是椭圆上的一个动点，如果延长QPF到1，使得2PFPQ那么动点Q的轨迹是（）A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线【答案】A【点评】本题要紧紧抓住椭圆和圆的定义和性质，从而求出轨迹方程。【变式演练1】已知点0,41F，直线41:xl，点B是直线l上动点，若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）A、双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆【答案】B【解析】由题意知MFMB，点M的轨迹为抛物线。例2已知动圆M与圆1C:2422yx外切，与圆24:222yxC内切，求动圆圆心M的轨迹Gothedistance方程。【答案】轨迹方程2212214xyx【变式演练2】已知021，A,B是圆421:22yxF（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是。【答案】22413xy方法三相关点法（代入法）使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题步骤：第一步判断动点,Pxy随着已知曲线上的一个动点'',Qxy的运动而运动第二步求出关系式'',,,xfxyygxy第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程例1定点03，A为圆122yx外一定点，P为圆上任一点，POA的平分线交PA于点Q的轨迹方程。Gothedistance【答案】轨迹方程为223934162xyx和013yx【变式演练1】已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为0,3-F，且右顶点为02，D.设点A的坐标是211，。（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程。【答案】⑴2214xy；⑵22114124xyGothedistance例2设0＞，点A的坐标为1,1，点B在抛物线2xy上运动，点Q满足QABQ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。【答案】21yxGothedistance【点评】寻找与动点变化相关的点是解决本题的关键，如本题中P与Q相关，Q与B相关，从而建立P与B的关系。【变式演练2】4101，，，BA,在平面上动点Q满足4QBQA,点P是点Q关于直线42xy的对称点，求动点P的轨迹方程。【答案】22829xyGothedistance方法四参数法使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时解题步骤：第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标,xy；第二步消去参数，得到关于,xy的方程，即为所求轨迹方程。例1、已知线段AB的长为a，P点分AB为12:：PBAP两部分，当A在y轴正半轴运动时，B在x轴正半轴上运动，求动点P的轨迹方法。【答案】222210,0499xyxyaaGothedistance【点评】参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键是选择适当参数，常用的参数有线参数、角参数、k参数、t参数和点参数等。【变式演练1】椭圆的准线垂直于x轴，离心率为12，并且经过点1,1,2,2AB。求椭圆中心的轨迹方程。【答案】68210xy消去2c，得0068210xy即椭圆中心的轨迹方程为68210xy。Gothedistance例2过定点baA,任作互相垂直的两条直线21ll与，且1l与x轴交于M，2l与y轴交于N，求线段MN中点P的轨迹方程。【答案】22220axbyab。、【点评】用参数法球轨迹方程的步骤为：先引进参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标,xy；再消去参数，得到关于,xy的方程，即为所求的轨迹方程。【变式演练2】过点1,0A，斜率为k的直线l与抛物线2:y4Cx交于,PQ两点。若曲线C的焦点F与,,PQR三点按如图所示的顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程。【答案】243,1yxxGothedistance方法五交规法使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题解题步骤：第一步解两曲线方程组得到,xftygt第二步消去动曲线中的参数。例1、已知双曲线1222yx的左右顶点分别为21AA，，点2211,,,yxQyxP是双曲线上不同的两个动点，求直线QAPA21与交点的轨迹E的方程。【答案】221,02xyx且2x。Gothedistance【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出P点的两个坐标间的关系即可。【变式演练1】设抛物线022＞ppxy的准线为l，焦点为F，顶点为PO,为抛物线上任意一点，QlPQ于，求OPQF与的交点M的轨迹方程。【答案】22.2pyxxGothedistance【高考再现】1、【2012.高考湖北理第21题】．（本小题满分13分）设A是单位圆221xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)DMmDAmm且.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；[来源:学科网]（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的0k，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.【答案】⑴当01m时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为2(1,0)m，2(1,0)m；当1m时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，⑵存在2m，使得学科网在其对应的椭圆2212yx上，对任意的0k，都有PQPH.GothedistanceGothedistanceGothedistance2、【2012辽宁高考理科第20题】椭圆0C：为常数＞＞bababyax,,012222，动圆1C：atbtyx＜＜12122,，点21AA，分别为0C的左右顶点，1C和0C相交于DCBA,,,四点。（1）求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=Cxyt与0C相交于',',','ABCD四点，其中2bta，12tt.若矩形ABCD与矩形''''ABCD的面积相等，证明：2212+tt为定值,【答案】⑴22221,0xyxayab⑵2212+tt22abGothedistance3、【2012四川高考理科第21题】(本小题满分12分)如图，动点QR、M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。yxBAOM（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围。【答案】⑴22330,1xyx，⑵)347,7(7,1Gothedistance4、(2011年湖北高考理科第19题).（本小题满分13分）Gothedistance如图，在以点O为圆心，||4AB为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足||||||MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.【答案】⑴12222yx⑵直线l的斜率的取值范围为2,11,11,2GothedistanceGothedistanceGothedistance5、【2014高考湖北理第21题】在平面直角坐标系xOy中，点M到点1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.（1）求轨迹为C的方程；（2）设斜率为k的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围.【答案】⑴24,00,0xxyx⑵当1,1,02k，直线l与1C有两个公共点，与2C有一个公共点；当11,01,22k时，直线l与C恰有两个公共点；当111,0,22k时，直线l与C恰有三个公共点。Gothedistance【反馈练习】1、【安徽三校2014届12月联考】长为10mm的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑Gothedistance动，点M是线段AB上一点，且AMmMB。⑴求点M的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；[来源:Zxxk.Com]⑵设过点1,02Q且斜率部位0的直线交轨迹于,CD两点。试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分CPD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】⑴当01m时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆