双曲线的标准方程推导-解析式求解-教师版..

年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]直利教育2015年寒假名师培优一对一教案第2讲双曲线的定义及标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差:12||||2PFPFa或21||||2PFPFa,即:12||||||2PFPFa，其中0a动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212FFaMFMF，则轨迹是线段21FF的延长线；若21122FFaMFMF，则轨迹是线段12FF的延长线；②若21212MFMFaFF，则无轨迹；③在1202||aFF条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a2与21FF的大小关系与动点的轨迹的变化规律.（1）当ca22时，双曲线（2）当ca22时，射线（3）当ca22时，无轨迹2、概念形成双曲线定义定义：平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,FF叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||FF叫做焦距.双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21FF.（2）当12||||2PFPFa时，动点的轨迹是与2F对应的双曲线的一支，年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]||||2PFPFa时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设cFF221，取过点21FF、的直线为x轴，线段21FF的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则)0,(F)0,(21ccF、，设M是所求轨迹上的点.依已知条件有aMFMF221，221)(ycxMF，222)(ycxMF，22)(ycxaycx2)(22，移项得：22)(ycx22)(2ycxa，平方得：222)()(ycxacxa（*）再平方得：)()(22222222caayaxca，即)()(22222222acayaxac，令)0(222bcacb则222222bayaxb，即12222byax综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是12222byax①，其中)0(222acbac，焦点)0,(F)0,(21ccF、.[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.◆同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在y轴上双曲线的标准方程是12222bxay，其中)0(222acbac，焦点),0(F),0(21ccF、.[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]定义及性质对比名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数2a（2a21FF）的动点的轨迹叫椭圆.即aMFMF221当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数2a（a2021FF）的动点的轨迹叫双曲线.即aMFMF221当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax0ba焦点在y轴上时：12222bxay0ba注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数cba,,的关系222bca（符合勾股定理的结构）0ca，a最大，可以bcbcbc,,222bac（符合勾股定理的结构）0acc最大，可以bababa,,年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]精题精讲【例1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量cba,,的值奎屯王新敞新疆①12422yx②12222yx③12422yx④369422xy（1232222xy）奎屯王新敞新疆分析：双曲线标准方程的格式：平方差，2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上，2x项的分母是2a；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上，2y项的分母是2a奎屯王新敞新疆解：①是双曲线，6,2,2cba；②是双曲线，2,2,2cba；③是双曲线，6,2,2cba；④是双曲线，13,2,3cba奎屯王新敞新疆【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到)0,5()0,5(21FF，的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程奎屯王新敞新疆解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为12222byax(0a,0b)奎屯王新敞新疆∵102,62ca∴5,3ca∴1635222b奎屯王新敞新疆所求双曲线标准方程为116922yx奎屯王新敞新疆年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]【例3】已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点)24,3(1P，)5,49(2P，在此双曲线上，求双曲线的标准方程奎屯王新敞新疆分析：由于已知焦点在y轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解奎屯王新敞新疆本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数ba,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将22,ba的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组奎屯王新敞新疆解：因为双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为12222bxay（0,0ba）则有1)49(513)24(22222222baba，即1116811251191322222baba解关于221,1ba的二元一次方程组，得911,161122ba所以，所求双曲线的标准方程为191622xy奎屯王新敞新疆【例4】点A位于双曲线)0,0(12222babyax上，21,FF是它的两个焦点，求21FAF的重心G的轨迹方程奎屯王新敞新疆分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解奎屯王新敞新疆注意限制条件奎屯王新敞新疆解：设21FAF的重心G的坐标为),(yx，则点A的坐标为)3,3(yx.因为点A位于双曲线)0,0(12222babyax上，从而有)0(1)3()3(2222ybyax，即)0(1)3()3(2222ybyax所以，21FAF的重心G的轨迹方程为)0(1)3()3(2222ybyax奎屯王新敞新疆年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]【例5】已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使ACBsin21sinsin，求点A的轨迹奎屯王新敞新疆分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件奎屯王新敞新疆解：以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时)0,6(),0,6(CB，由ACBsin21sinsin得621acb,即6||||ABAC奎屯王新敞新疆所以，点A的轨迹是以)0,6(),0,6(CB为焦点，2a=6的双曲线的左支奎屯王新敞新疆其方程为：)3(127922xyx奎屯王新敞新疆点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂奎屯王新敞新疆解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的奎屯王新敞新疆【例6】求下列动圆圆心M的轨迹方程:(1)与⊙C:(x+2)2+y2=2内切，且过点A（2，0）（2）与⊙C1：x2+(y-1)2=1和⊙C2:x2+(y+1)2=4都外切.（3）与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2:(x-3)2+y2=1内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1＞r2，则当它们外切时，|O1O2|=r1+r2;当它们内切时，|O1O2|=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为r(1)∵⊙C1与⊙M内切，点A在⊙C外∴|MC|=r-2,|MA|=r,|MA|-|MC|=2∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：a=22,c=2,b2=c2-a2=27∴双曲线方程为2x2-722y=1(x≤-2)(2)∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切∴|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,|MC2|-|MC1|=1∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：a=21,c=1,b2=c2-a2=43∴所求的双曲线方程为：年级:高二学科：数学教师：王鹏上课日期：2月5日木受绳则直，金就砺则利地址：彭州市朝阳中路366号17栋1单元1楼5号电话：[phone]y2-342x=1(y≥43)(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切∴|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4∴点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：a=2,c=3,b2=c2-a2=5∴所求双曲线方程为：15422yx(x≥2)【例7】已知双曲线116922yx的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：∵点P在双曲线的左支上∴|PF1|-|PF2|=6∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36∴|PF1|2+|PF2|2=100∵|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100∴∠F1PF2=90°评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.【例8】已知F1、F2是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.分析：利用双曲线的定义及△F1PF2中的勾股定理可求△F1PF2的面积.解：∵P为双曲