LINGO数学规划模型

数学建模竞赛中的优化问题数学建模培训组2015.4教学目的让大家了解数学建模中常常遇到的问题——优化问题；初步认识数学建模需要准备的算法，软件。内容提要1.优化模型的基本概念2.优化问题的建模实例3.LINGO软件简介1.优化模型的基本概念最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会生活中经常遇到的问题,如:优化模型和算法的重要意义结构设计资源分配生产计划运输方案解决优化问题的手段•经验积累，主观判断•作试验，比优劣•建立数学模型，求解最优策略最优化:在一定条件下，寻求使目标最大(小)的决策优化问题：与最大、最小、最长、最短等等有关的问题。解决最优化问题的数学方法：运筹学运筹学主要分支：线性规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮论、排队伦、对策论、决策论。线性规划1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件约束条件决策变量优化问题的一般形式njiDxljxgmixhtsxf,...,1,0)(,...,1,0)(..)(min•无约束优化(没有约束)与约束优化(有约束)•可行解（只满足约束）与最优解(取到最优值)目标函数局部最优解与整体最优解•局部最优解(LocalOptimalSolution,如x1)•整体最优解(GlobalOptimalSolution,如x2)x*f(x)x1x2o优化模型的简单分类•线性规划(LP)目标和约束均为线性函数•非线性规划(NLP)目标或约束中存在非线性函数二次规划(QP)目标为二次函数、约束为线性•整数规划(IP)决策变量(全部或部分)为整数整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP)纯整数规划(PIP),混合整数规划(MIP)一般整数规划，0-1（整数）规划njiDxljxgmixhtsxf,...,1,0)(,...,1,0)(..)(min连续优化离散优化数学规划优化模型的简单分类和求解难度优化线性规划非线性规划二次规划连续优化整数规划问题求解的难度增加例家具生产的安排一家具公司生产桌子和椅子，用于生产的全部劳力共计450个工时，共有4立方的木材。每张桌子要使用15个工时，0.2立方木材，售价80元。每张椅子使用10个工时，0.05立方木材，售价45元。问为达到最大的收益，应如何安排生产？分析：1.求什么？生产多少桌子？生产多少椅子？2.优化什么？收益最大3.限制条件？原料总量劳力总数x1x2Maxf=80x1+45x20.2x1+0.05x2≤415x1+10x2≤450一般线性规划的数学模型及解法：minf=cTxs.t.AxbA1x=b1LBxUBMatlab求解程序[x,f]=linprog(c,A,b,A1,b1,LB,UB)一个简单的LINGO程序例直接用LINGO来解如下二次规划问题：40,322100..123.02779821212122212121为整数xxxxxxtsxxxxxxMax输入窗口如下：LINGO简介LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。使用入门——界面使用入门——菜单命令“File”“Edit”：——matchparenthesis：括号匹配，选定某括号的一边，然后点击此选项，程序会自动寻找与之相匹配的括号，如果未找到，会有弹窗提示。——pastefunction：用来进行函数的插入。“lingo”：——solution：主要是考察结果，可以指定某一行或者某一个项目来考察结果，有文字形式也有图表形式。——range：主要是用于灵敏度分析，在这里要先更改默认设置，将price改为priceandrange，然后才能运行range。——generate：可以产生相对应的程序。——debug：用于调试程序，只能在程序出错时才能用。示例：model:sets:number/1..6/:x;endsetsdata:x=5134610;enddataend程序结构——集LINGO的程序一般是一“MODEL：”开头，以“end”结束，内容包括四部分：集部分，数据部分，初始部分，目标函数、约束函数部分。集部分是LINGO模型的一个可选部分。在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须被定义。程序结构——原始集集包括原始集和派生集两种。定义原始集为了定义一个原始集，必须详细声明：·集的名字·可选，集的成员·可选，集成员的属性定义一个原始集，用下面的语法：setname[/member_list/][:attribute_list];注意：用“[]”表示该部分内容可选。示例1：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;endsetsEnd示例2：Model:Sets:Month/Jan..Dec/:temperature;Endsetsend程序结构——原始集集成员列表的罗列可以有显式罗列和隐式罗列两种，显示罗列如上页所示，即将集成员全部罗列出来。隐式罗列不必罗列出每个集成员。可采用如下语法：setname/member1..memberN/[:attribute_list];这里的member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名。LINGO将自动产生中间的所有成员名。LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名，用于创建一些特殊的集。列表如下：隐式成员列表格式示例所产生集成员隐式成员列表格式示例所产生的集成员1..n1..51,2,3,4,5StringM..stringNCard2..Card10Card2,Card3,Card4…Card10DayM..DayNMon..FriMon,Tue,Wen,Thu,FriMonthM..MonthNOct..JanOct,Nov,Dec,JanMonthYearM..MonthYearNOct2001..Jan2002Oct2001,Nov2001,Dec2001,Jan2002程序结构——原始集也可以将集成员在数据部分定义。示例：!集部分;sets:students:sex,age;endsets!数据部分;data:students,sex,age=John116Jill014Rose017Mike113;Enddata注意：开头用感叹号（!），末尾用分号（;）表示注释，可跨多行。请注意：数据部分的数据之间可以用空格隔开，也可以用逗号隔开。程序默认的数据是从索引1开始分配，即将“students，sex，age”的第一个数据分配完了之后再分配其第二个数据。再如下例：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;EndsetsData:Age,gender=10,1,11,0,12,1;enddataEnd运行之后便可看出数据分配的结果。程序结构——派生集定义派生集为了定义一个派生集，必须详细声明：·集的名字·父集的名字·可选，集成员·可选，集成员的属性可用下面的语法定义一个派生集：setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list];setname是集的名字。parent_set_list是已定义的集的列表，多个时必须用逗号隔开。如果没有指定成员列表，那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员。派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。示例：model:sets:students/John,Linda,Tom/:age,gender;friends/Harry,Green/;Links(students,friends):relationship;EndsetsData:Relationship=8,4,9,6,6,8;enddataEnd程序结构——派生集稀疏集可以用显式表示也可以用成员资格过滤器表示。显式表示可如下示例：Links(students,friends)/John,Harry,Linda,Green/:relationship;（1）成员资格过滤器表示可如下示例：Links(students,friends)|&1#eq#1#and#&2#eq#2:relationship;（2）分别插入程序中，并修改数据，可得到如下结果：（1）RELATIONSHIP(JOHN,HARRY)8.000000RELATIONSHIP(LINDA,GREEN)6.000000（2）RELATIONSHIP(JOHN,GREEN)8.000000程序结构——数据数据部分以关键字“data:”开始，以关键字“enddata”结束。在这里，可以指定集成员、集的属性。其语法如下：object_list=value_list;对象列（object_list）包含要指定值的属性名、要设置集成员的集名，用逗号或空格隔开。一个对象列中至多有一个集名，而属性名可以有任意多。如果对象列中有多个属性名，那么它们的类型必须一致。如果对象列中有一个集名，那么对象列中所有的属性的类型就是这个集。数值列（value_list）包含要分配给对象列中的对象的值，用逗号或空格隔开。注意属性值的个数必须等于集成员的个数。看下面的例子。示例：sets:set1/A,B,C/:X,Y;endsetsdata:X=1,2,3;Y=4,5,6;Enddata数据部分也可以如此表示，其本质是一样的：data:X,Y=142536;enddata程序结构——数据Data部分也可以用来定义标量变量，如下所示:data:interest_rate=.085;enddata也可以同时指定多个参数。data:interest_rate,inflation_rate=.085.03;enddata在某些情况，对于模型中的某些数据并不是定值。譬如模型中有一个通货膨胀率的参数，我们想在2%至6%范围内，对不同的值求解模型，来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多么敏感。我们把这种情况称为实时数据处理（whatifanalysis）。LINGO有一个特征可方便地做到这件事：在本该放数的地方输入一个问号（?）。如下所示：data:interest_rate,inflation_rate=.085?;enddata每一次求解模型时，LINGO都会提示为参数inflation_rate输入一个值。在WINDOWS操作系统下，将会接收到一个类似右上角所示的对话框：直接输入一个值再点击OK按钮，LINGO就会把输入的值指定给inflation_rate，然后继续求解模型。程序结构——数据指定属性为一个值可以在数据声明的右边输入一个值来把所有的成员的该属性指定为一个值。看下面的例子。数据部分的未知数值有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值，而让其余成员的该属性保持未知，以便让LINGO去求出它们的最优值。在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。两个逗号间可以有空格。属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20，其余的未知。示例1：sets:days/MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost;endsetsdata:needscost=20100;Enddata示例2：sets:years/1..5/:ca