2020-年北京市高考适应性测试

数学第1页（共6页）2020年北京市高考适应性测试数学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为（A）(1,2)（B）(1,2)（C）(2,1)（D）(2,1)（2）已知集合A{xx2}，B{1,0,1,2,3}，则A∩B（A）{0,1}（B）{0,1,2}（C）{1,0,1}（3）下列函数中，在区间(0,)上为减函数的是（D）{1,0,1,2}（A）yx1（B）yx21（C）y(1)x2（D）ylog2x（4）函数f(x)（A）{x|x≤2或x≥3}（C）{x|2≤x≤3}的定义域为（B）{x|x≤3或x≥2}（D）{x|3≤x≤2}（5）圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是（A）(x2)2(y1)21（B）(x2)2(y1)21（C）(x2)2(y1)25（D）(x2)2(y1)25（6）要得到函数ysin(2xπ)的图象，只需要将函数ysin2x的图象3（A）向左平移π个单位（B）向左平移π个单位36（C）向右平移π个单位（D）向右平移π个单位36x25x6数学第2页（共6页）x（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A）23（B）43（C）2（D）4正（主）视图侧（左）视图俯视图（8）已知点A(2,0)，B(0,2)．若点P在函数y的图象上，则使得△PAB的面积为2的点P的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4（9）设{an}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为Sn．则“nN*，Sn1Sn”是“{an}为递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A，B，C，D，E五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B．则该班（A）物理化学等级都是B的学生至多有12人（B）物理化学等级都是B的学生至少有5人（C）这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人（D）这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人等级科目物理1016化学19数学第3页（共6页）x2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。2（11）已知双曲线a2y1(a0)的一条渐近线方程为xy0，则a．（12）已知向量a(1,m)，b(2,1)，且ab，则m．（13）抛物线y24x上到其焦点的距离为1的点的个数为．（14）在△ABC中，a4，b5，c6，则cosA，△ABC的面积为．（15）函数f(x)的定义域为[1,1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的奇函数，满足g(2x)g(x)0，且当x(0,1)时，g(x)f(x)．给出下列三个结论：①g(0)0；②函数g(x)在(1,5)内有且仅有3个零点；③不等式fx0的解集为{x|1x0}．其中，正确结论的序号是．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。1211O4数学第4页（共6页）三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD2AD，PDDA，PDDC，底面ABCD为正方形，M,N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值．CA（17）（本小题14分）已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a312，．是否存在正整数k，使得Sk2020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．从①q2，②q1，③q2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。数学第5页（共6页）（18）（本小题14分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A,B,C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：A组10111213141516B组12131415161718C组13141516171819假设所有植株的生长情况相互独立．从A,B,C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙．（Ⅰ）求丙的高度小于15厘米的概率；（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为0．从A,B,C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14,16,15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1，试比较0和1的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数f(x)ex(x1)1eax2，a0．2（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)的极小值；（Ⅲ）求函数f(x)的零点个数．数学第6页（共6页）3（20）（本小题14分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0,1)，B(0,1)，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线ym与椭圆C有两个不同的交点M,N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率的积为1．证明：点D在x轴上．4（21）（本小题14分）其中e1e2…el，lN*且l≤6．定义变换k为“对于数阵的每一行，若其中有k或k，则将这一行中每个数都乘以1；若其中没有k且没有k，则这一行中所有数均保持不变”（ke1,e2,…,el）．S(A0)表示“将A0经过e变换得到A1，再将A1经过e变换得到A2，…，12以此类推，最后将Al1经过e变换得到Al”，记数阵Al中四个数的和为TS(A0)．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学第7页（共6页）2020年北京市高考适应性测试数学答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1--5.BCCAA6--10.DBCAD10.D二、填空题共5题，每题5分，共25分。11.112.213.114.34，1574.15.①③（见视频解读)15.解析.因为函数gx是定义域为R的奇函数，所以①正确；由2()0gxgx知函数()ygx的图像关于点1,0成中心对称，由此作出函数的图像如下，由图像知函数()ygx在1,5内有5个零点，故②错误；对于③，方法一是利用与关于y轴对称，由图像知③正确。方法二是利用函数()yfx的图像，直接解不等式01,10xx即得。故而正确。注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）数学第8页（共6页）（Ⅰ）证明：因为M，N分别为AD，PD的中点所以PAMN,又因PAMNCMNMNC平面平面所以//PAMNC平面；（Ⅱ）由题意建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz。设AD=2，则(0,0,4),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),C(0,2,0)PBMN则(2,2,4),(1,0,2),(1,2,0)PBMNMC设平面MNC的法向量为=(,,)nxyz，则2020nMNxznMCxy，令2,=1,=1xyz则，即=(2,1,1)n设直线PB与平面MNC所成角为，则4241sin6626nPBnPB即直线PB与平面MNC所成角的正弦值为16.17.（本小题14分）答案：当2q时，存在，min10k。当12q时，不存在。当2q时，存在，min11k。理由分别如下。当2q时，113,32nnaa，33232312nnnS。由3232020k得126743k，9102512,21024kN，，min10k当12q时，11148,482nnaa，148481296961212nnnS。由1969620202k得4811242k，不等式无解。此时不存在。数学第9页（共6页）当2q时，113,32nnaa，3321212nnnS。由122020k得22019k，910112512,2102422048kN，,，min11k18.（本小题14分）解：（1）设“丙的高度小于15厘米”为事件M因为丙的高度小于15厘米的有13厘米、14厘米的两株，所以2()7PM.即丙的高度小于15厘米的概率为27。(2)设“甲的高度大于乙的高度”为事件N.记A组7株植物依次分别为1,234567,,,,,.AAAAAAAB组7株植物依次分别为1,234567,,,,,.BBBBBBB从A中选出甲，从B中选出乙共有7749种情况，其中满足甲的高度大于乙的高度的有：41515261626371727374(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,).ABABABABABABABABABAB、、、、、、、、、、共10种.所以10()49PN.即甲的高度大于乙的高度的概率为1049(3)01.19.（本小题15分）解：(1)()fx定义域为：R()(1+()xxaxafxexeexxee）(0)1f切点为(0,1)(0)0f数学第10页（共6页）()yfx在(0,1)处的切线方程为：1y.(2)令()0fx，解得：120,xxa（0a）x(,)aa(,0)a0(0,)()fx00()fx()fx在(,)a、(0,)单调递增，在(,0)a单调递减.()fx在0x处取得极小值为(0)1f.(3)由（2）知()fx的极大值为2211)(1)(1)022aaafaeaeaaae（,(0)a(0)10f，2)2afee（2，0,01,(2)0aaef函数()fx的零点个数为1.20.（本小题14分）解答：（Ⅰ）由题意知3c，222,1,4acbxabc只能且焦点在轴上，所以椭圆C的方程为：2214xy。（Ⅱ）由题意可设00(,),(,)MxmNxm,11m。则2204(1)xm---①因为点D为直线AN上一点，所以0(,1)ADANxm，所以0,11ODANOAxm所以00(1)2114BDBMmmKKxx整理得2204(1)8(1)mmx将①代入整理得1[(1)1]0mm，10,(1)10mm，即0Dy所以点D在x轴上。21.（本小题14分）数学第11页（共6页）设数阵111202122,aaAaa其中11122122,,,{1,2,,6}aaaa，设12{,,,}{1,2,,6},lSeee其中*12,6.leeelNl且定义变换k为“对于