2014高考数学(理)复习方案：第21讲 简单的三角恒等变换资料

第21讲简单的三角恒等变换双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换．考试说明第21讲简单的三角恒等变换——知识梳理——一、常用的三角公式的变形1．1±sinα＝________.2．1＋cosα＝________，1－cosα＝________.3．降幂公式：sin2＝________，cos2＝________，tan2＝________.4．tan＝________＝________.二、辅助角公式asinα＋bcosα＝________sin(α＋φ)，其中tanφ＝________，φ的符号由a，b的符号确定．返回目录双向固基础返回目录双向固基础第21讲简单的三角恒等变换三、常见的几种角的变换1．α＝(α＋β)－________，α＝________＋β；2．2α＝(α＋β)＋________，2β＝________－(α－β)；四、常数的变换1．1＝______________，1＝2cos2α－________，1＝cos2α＋________.β(α－β)(α－β)(α＋β)sin2α＋cos2αcos2α2sin2α——疑难辨析——返回目录双向固基础第21讲简单的三角恒等变换判断下列三角变换是否正确(1)若α是第二象限的角，则cosα2＝1＋cosα2.()(2)tanα＝3，则sin2αcos2α＝4.()(3)sin15°＋cos15°＝12sin30°＝14.()(4)sinα＝2tanα21－tan2α2.()返回目录双向固基础第21讲简单的三角恒等变换[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[解析](1)由α是第二象限的角，得π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，即π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z，∴α2是第一或第三象限的角，cosα2＝±1＋cosα2.(2)sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.返回目录双向固基础第21讲简单的三角恒等变换(3)sin15°＋cos15°＝sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝2×22×32＝62.(4)sinα＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2.返回目录点面讲考向第21讲简单的三角恒等变换考点考频示例(难度)1.三角函数式的化简解答(3)填空(1)2009年浙江T18(A)，2010年浙江T18(A)，2011年浙江T18(B)，2012年浙江T15(A)2.根据三角函数值求值3.根据三角函数值求角4.三角恒等变换的综合应用说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．►探究点一三角函数式的化简返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换例1(1)[2012·辽师大附中检测]化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)的结果为________________________________________________________________________．(2)[2012·郑州模拟]化简求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°·1tan5°－tan5°＝________.返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[思考流程](1)分析：依据角的关系化为同一个角θ2；推理：合理利用倍角公式化简；结论：得出对应的值．(2)分析：把20°，5°都化为10°；推理：合理利用倍角、半角公式化简；结论：得出对应的值．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[答案](1)－cosθ(2)32[解析](1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2cosθcosθ2，因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.[点评]三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们达到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换归纳总结三角函数求值、化简的基本思想是“变换”，通过适当地变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个，一个变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；一个是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换►探究点二根据三角函数值求值返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换例2[2012·石家庄检测]已知0βπ4α34π，cosπ4－α＝35，sin34π＋β＝513，则sin(α＋β)的值为________．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[思考流程]分析：发现题设中的角与待求式中的角的关系；推理：利用和角公式计算；结论：得出函数的值．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[答案]5665[解析](1)方法一：∵π4α3π4，∴－3π4－α－π4，－π2π4－α0.又∵cosπ4－α＝35，∴sinπ4－α＝－45.又∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ.又∵sin3π4＋β＝513，∴cos34π＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cosπ2＋(α＋β)＝－cos3π4＋β－π4－α＝－cos3π4＋βcosπ4－α－sin3π4＋βsinπ4－α＝－－1213×35－513×－45＝3665＋2065＝5665.返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换方法二：∵cosπ4－α＝sinα＋π4＝35.π2α＋π4π，∴cosα＋π4＝－45，∵sin3π4＋β＝513，3π43π4＋βπ，∴cos3π4＋β＝－1213.∴sin(α＋β)＝－sinα＋π4＋β＋3π4＝－sinα＋π4cosβ＋3π4＋sinβ＋3π4·cosα＋π4＝5665.[点评]在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行恰当变换，把“所求角”用“已知角”表示，以满足应用公式的条件；当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换归纳总结三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值或证明，其基本思维过程为：找差异、化同名，化简求值．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换变式题(1)已知tanα＋π4＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于()A．－255B．－3510C．－31010D.255(2)[2012·义乌中学模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB＝34，则sin2B＋cos2A＋C2的值为________．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[答案](1)A(2)1＋378[解析](1)由已知得tanα＋11－tanα＝12，解得tanα＝－13，即sinαcosα＝－13，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－π2α0，可得sinα＝－1010，所以2sin2α＋sin2αcosα－π4＝22sinαsinα＋cosαsinα＋cosα＝22sinα＝22×－1010＝－255，故选A.返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换(2)因为cosB＝34，所以sinB＝74，所以sin2B＋cos2A＋C2＝2sinBcosB＋cos2π－B2＝2sinBcosB＋12(1－cosB)＝2×74×34＋18＝1＋378.►探究点三根据三角函数值求角返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换例3(1)已知0απ2，0βπ2，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，则α＋β的值为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B的横坐标分别为210，255，则α＋2β值为________．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[思考流程](1)分析：依据角之间的关系；推理：求出α＋β的范围及正切值；结论：得出所求角．(2)分析：依据角之间的关系；推理：求出α＋2β的范围及正切值；结论：得出所求角．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换[答案](1)π4(2)3π4[解析](1)∵4tanα2＝1－tan2α2，且1－tan2α2≠0.∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，又∵3sinβ＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换∴2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα，∵0απ2，0βπ2，∴0α＋βπ，∴cos(α＋β)≠0，sinα≠0.∴cos(α＋β)sinα≠0，∴2sinα＋βcosαcosα＋βsinα＝4，即tanα＋βtanα＝2.∴tan(α＋β)＝2tanα＝1，①又∵0απ2，0βπ2，∴0α＋βπ，②由①和②知α＋β＝π4.返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换(2)由已知条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－122＝43，∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0α＋2β3π2，∴α＋2β＝3π4.[点评]已知三角函数值求角，一般分两步：①恰当地根据角的范围选择一个三角函数值；②根据角的范围与三角函数值确定该角的值．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换归纳总结利用三角函数的两角和、差公式进行化简求值，要注意合理地拆角和凑角，注意配凑技巧的运用．求出三角函数值后，根据角的象限，求出角．返回目录点面讲考点第21讲简单的三角恒等变换变式题[2