2014高考数学备考学案(文科)能力提升第13课 函数的单调性与最值

考纲要求理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．1．函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1x2时,都有____________,那么函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有__________,那么函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是______自左向右看图象是_____f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的知识梳理2．用定义证明函数()fx在给定的区间的单调性的步骤：①取值：设12,xx是给定区间的任意两个值，且12xx；②作差：12()()fxfx；③变形：通常是通分、因式分解、配方等，出现几个因式的积，向有利于判断差的符号的方向变形；④定号：判断12()()fxfx的正负，当正负不能确定时，可以分区间进行讨论；⑤下结论：指出函数()fx在给定的区间的单调性．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I,使得_________.(3)对于任意x∈I,都有__________；(4)存在x0∈I,使得__________.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M1．函数2yx在区间[3,0]上（）A．递减B．递增C．先减后增D．先增后减基础自测【答案】C【解析】作出2yx的图象，如图，∴在[3,2]上为减函数，在[2,0][－2,0]上为增函数．2．（2012广东高考）下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（）A．ln(2)yxB．1yxC．1()2xyD．1yxx【答案】A3．（2012肇庆二模）已知()fx是定义在(0,)上的单调递增函数，且满足(32)(1)fxf，则实数x的取值范围是（）A．(,1)B．2(,1)3C．2(,)3D．(1,)【答案】B【解析】由320321xx，解得213x．4．已知)(xf在R上是减函数，若0ba，则下列正确的是（）A．)]()([)()(bfafbfafB．)()()()(bfafbfafC．)]()([)()(bfafbfafD．)()()()(bfafbfaf【答案】D【解析】∵)(xf在R上是减函数，若0ba，∴ab，∴()()fafb，同理：()()fbfa，∴()()()()fafbfafb．【例1】已知()()xfxxaxa.(1)若2a，试证()fx在(,2)内单调递增；(2)若0a且()fx在(1,)内单调递减，求a的取值范围.典例剖析考点1函数单调性的判断与证明【解析】(1)证明：任取122xx，则121212()()22xxfxfxxx12122()(2)(2)xxxx.∵122xx，∴12(2)(2)0xx，120xx，∴12()()fxfx，∴()fx在(,2)内单调递增.(2)任取121xx，则121212()()xxfxfxxaxa2112()()()axxxaxa.∵0a，120xx，∴要使12()()0fxfx，只需12()()0xaxa恒成立，∴1a.综上，a的取值范围是01a.【变式】(2012青岛模拟)已知奇函数()fx对任意的正实数1x，212()xxx，恒有1212()[()()]0xxfxfx，则一定正确的是()A．(4)(6)ffB．(4)(6)ffC．(4)(6)ffD．(4)(6)ff【答案】C【解析】方法1：显然(64)[(6)(4)]0ff，即(6)(4)ff，∵()fx为奇函数，∴(6)(6),(4)(4)ffff，∴(4)(6)ff．方法2：∵1212()[()()]0xxfxfx，∴()fx在(0,)上为增函数，∴(6)(4)ff∵()fx为奇函数，∴(6)(6),(4)(4)ffff，∴(4)(6)ff．【例2】(2012惠州调研)用min{,,}abc表示,,abc三个数中的最小值．设()min{2,2,10}xfxxx(0)x，则()fx的最大值为()A．4B．5C．6D．7考点2求函数的最值【答案】C【解析】如图所示，在同一坐标系中作出0x时，2xy,10yx,2yx的图象．根据()fx定义知，()min{2,2,10}xfxxx(0)x的图象(如图实线部分)．∴2,02,()2,24,10,4.xxfxxxxx令210xx，解得4x.∴当4x时，()fx取最大值(4)6f.【变式】已知函数21,1,2()1,12.xxfxxx求函数的最大值和最小值．【解析】当112x时，由2()fxx，可知max[()]1fx，min[()]0fx,当12x时，由1()fxx，可得(2)()(1)ffxf，即1()12fx∴函数的最大值为1，最小值为0．【例3】(2012长春模拟),1()(4)2,12xaxfxaxx是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1,)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)考点3函数单调性的应用【答案】B【解析】∵()fx是R上的单调递增函数，∴1,40,242.2aaaa解得48a.【变式】（2012丰台一模）若函数1(),0,()2,0,xxfxxax则“1a”是“函数()yfx在R上单调递减”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()yfx在R上单调递减的充要条件是01()02a，即1a，故选A．1．函数的单调性的证明时，若不能直接定号，则要分类讨论；2．对于分段函数的单调性问题，应充分利用分段函数是一个函数这一本质特征．3．设12,[,]xxab且12xx，那么①1212()()0fxfxxx或1212()[()()]0xxfxfx()fx在[,]ab上是增函数．②1212()()0fxfxxx或1212()[()()]0xxfxfx()fx在[,]ab上是减函数．归纳反思