2014高考数学备考学案(文科)能力提升第40课 解三角形的应用举例

考纲要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．仰角和俯角目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角．2．方位角指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．如点B的方位角为(如图⑵)．3．方向角指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）．通常表达成正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．1．若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的（）A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°基础自测【答案】B【解析】如图．2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（）A．20033mB．40033mC．4003mD．2003m【答案】C【解析】如图，60DAC,60OAC，30DAB，在AOC中，200AO，∴20033OC，20033ADOC，在ABD中，20033200333BD，因此塔高20040020033BD．【例1】如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得75CAB，45CBA,且100AB米．（1）求sin75；（2）求该河段的宽度．典例剖析考点1测量距离问题【解析】（1）sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin4512326222224．（2）∵75CAB，45CBA，∴60ACB．∵sinsinABBCACBCAB，∴sin75sin60ABBC．如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度．在RtBDC中，45BCDCBA，sinBDBCDBC，∴sin45BDBCsin75sin45sin60AB33350）（．∴该河段的宽度33350）（米．ADCB【例2】如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为60．（1）求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；（2）求塔的高AB．考点2测量高度问题【解析】（１）依题意知在DBC中,∵30BCD，18045135DBC，∴1801353015BDC,∵16000100()60CDm，∵由正弦定理得sinsinCDBCDBCBDC，∴sin100sin15sinsin135CDBDCBCDBC6210042250(31)()m．在RtABE中，tanABBE,∵AB为定长，∴当BE的长最小时最大，此时BECD，当BECD时，在RtBEC中，cosECBCBCE350(31)25(33)2()m,设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟，则25(33)606000100ECt334（分钟）．（２）由（１）知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中,sinBEBCBCD．∴tan60sintan60ABBEBCBCE150(31)325(33)2（m）∴所求塔高为25(33)m．考点3测量角度问题【例3】（2011广州二模）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值．60ABC东南西北【解析】（1）依题意，120BAC，12AB，10220AC，BCA．在△ABC中，由余弦定理，得2222cosBCABACABACBAC22122021220cos120784．解得28BC．∴渔船甲的速度为142BC海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）∵2222cosabcbcA，∴27323cos6bb，∴2340bb，∴1b（舍去），或4b，∴S1sin32bcA．（2）在ABC中，12AB，120BAC，28BC，BCA，由正弦定理，得sinsin120ABBC．即312sin120332sin2814ABBC．答：sin的值为3314．在解决与三角形有关的实际问题时：首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据已知条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．归纳反思