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第六章圆第25课时圆的基本性质第一部分考点研究考点精讲圆的基本性质与圆有关的概念及性质圆周角定理及推论垂径定理及推论圆内接四边形的性质正多边形与圆圆心角、弦、弧的关系与圆有关的概念及性质1.定义：如图，把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆，其中点O叫做圆心，线段OP叫做半径2.圆的有关概念3.圆的性质（1）弦：连接圆上任意两点的线段（2）直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍（3）弧：圆上任意两点间的部分（1）圆是轴对称图形，其对称轴是经过圆心的任意一条直线；圆也是中心对称图形，①是它的对称中心（2）圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合（3）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一条直线上的三点确定一个圆圆心圆心角、弦、弧的关系1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧②，所对的弦也③.3.推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧、两条弦中有一组量④，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等相等相等相等圆周角定理及推论1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角2.定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的⑤,同弧或等弧所对的圆周角相等3.推论：直径所对的圆周角是⑥,90°的圆周角所对的弦是⑦.一半90°直径垂径定理及推论定理：垂直于弦的直径⑧弦，并且平分弦所对的⑨.推论a.平分弦（不是直径）的直径⑩于弦，并且⑪弦所对的弧b.弦的垂直平分线经过⑫，并且平分弦所对的两条弧c.平分弦所对的一条弧的⑬垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分两条弧垂直平分圆心直径圆内接四边形的性质定义：一个四边形的4个⑭都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形性质（1）定理:圆内接四边形的对角⑮.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的⑯（和它相邻的内角的对角）顶点互补内对角正多边形与圆1.一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径2.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心，一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心重难点突破圆周角定理及推论例1如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知AB和CD所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A.45°B.40°C.25°D.20°【思路点拨】先根据圆周角定理求出∠ADB、∠CAD的度数，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠P.（高频）D对于圆中求角度的问题，若已知圆周角，可找该圆周角所对的弧，再找该弧所对的圆心角，或三角形的内外角关系，内角和定理或借助等腰三角形（圆的半径相等，可构造等腰三角形），或直角三角形（直径所对圆周角为直角）的性质来计算.垂径定理及推论例2（2015黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E,AB=BC=12,则OC=.【思路分析】由垂径定理得BE=CE，BD=DC，在Rt△ABE中，根据AB=2BE求出∠BAE的度数，再根据圆心角与圆周角的关系求出∠DOC的度数，再利用三角函数即可求得OC.43运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解.最常用的方法如：连接圆心和圆中弦的一个端点，若弦长为l，圆心到弦的距离为d，半径为r，根据勾股定理有如下公式：.或在直角三角形中，已知一直角边与斜边的关系，得到角度关系，再利用三角函数求得.2221drl