第3章扭转变形

第3章扭转2020年4月15日星期三主讲徐元第3章扭转第3章扭转§3-1扭转的概念和实例§3-3纯剪切§3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图§3-4圆轴扭转时的应力§3-5圆轴扭转时的变形§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7矩形截面杆扭转理论简介2020/4/15第3章扭转工程实例：汽车传动轴传动轴§3-1扭转的概念和实例传动轴受扭2020/4/15第3章扭转2020/4/15工程实例：汽车方向盘第3章扭转工程实例：齿轮传动轴2020/4/15第3章扭转工程实例：螺栓、螺母第3章扭转本章研究杆件发生扭转变形，其它变形可忽略的情况，以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。2020/4/15第3章扭转变形特点：1.杆件各横截面绕轴线作相对转动；2.杆表面的纵向线倾斜了一个角度。受力特点：圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面内的外力偶M作用。2020/4/15MeMe第3章扭转§3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图1.传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，外力偶在单位时间内所作之功等于外力偶之矩M与相应角速度的乘积。MP2020/4/151M2M3M主动轮从动轮从动轮第3章扭转smNW/.11602103nMP从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。min/.}{}{9549}{rkWmNnPM主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，2020/4/151M从动轮主动轮从动轮2M3M注意n转向第3章扭转2.扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。T=M2020/4/15MM11MnMn保留左端保留右端TT第3章扭转2020/4/15扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),负(-)扭矩图表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况的图。第3章扭转[例题3-1]已知：,PA=36KW，PB=PC=11KW，PD=14KW。试作轴的扭矩图。min/300rn解：1.计算外力偶矩nPMAeA95492020/4/15BCADeAMeBMeCMeDMmNmN.1146.)300369549(nPMMBeCeB9549mNmN.350.)300119549(nPMDeD9549mNmN.446.)300149549(第3章扭转2.计算各段的扭矩BC段内：mN3501eBMTmN4463eDMTCA段内：mN0072eCeBMMT2020/4/15BCADeBMeCMeAMeDM123eBMx1TeBMeCM2TxxeDM3TAD段内：01eBMT02eCeBMMT03eDMT第3章扭转2.计算各段的扭矩mNMTB.78.41mNMMTCB.56.92mNDMT.337.6扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代数和。外力偶矩投影箭头向上为正,外力偶矩投影箭头向下为负。保留左端2020/4/15BCADeBMeCMeAMeDM123保留右端符号相反第3章扭转3.作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为700N.m。2020/4/15xBCADeBMeCMeAMeDMTmN.350mN.700mN.446第3章扭转思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？2020/4/15BCADeBMeCMeAMeDMBCADeBMeDMeAMeCM第一种方案第二种方案第3章扭转2020/4/15BCADeBMeCMeAMeDMxTmN.350mN.700mN.446BCADeBMeDMeAMeCMxTmN.350mN.796mN.350第二种方案第一种方案那个方案好?第3章扭转2020/4/15aa2aMe2Me3MeABCD试求各段的扭矩，画扭矩图第3章扭转MM§3-3纯剪切试验中观察到：(1)当变形很小时，各圆周线的大小与间距不变，仅绕轴线作相对旋转；(2)各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大小的平行四边形。1.薄壁圆管扭转时的切应力2020/4/15第3章扭转(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同，横截面上无正应力。(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。横截面上的应力：2020/4/15abcdTA放大Aabcd第3章扭转drdArMe2022022r22rMe2020/4/15rddATd0rdA1.薄壁圆管扭转时的切应力eM第3章扭转2.切应力互等定理微小单元体上的力偶平衡,即dydxdydx结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则均指向或均离开该交线。——切应力互等定理2020/4/15dydxdabcabcd第3章扭转纯剪切的概念如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切应力，而在另一对平面上没有任何应力，则该单元体处于纯剪切状态。2020/4/15dydxdabc第3章扭转3.剪切胡克定律在切应力的作用下,微体发生了直角改变，这种角变量称为切应变。扭转试验表明:当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力与切应变成正比,引入比例系数G,则pG切变模量,其值随材料而异剪切虎克定律钢材的切变模量的约值为：G=80GPa2020/4/15)1(2EG第3章扭转§3-4圆杆扭转的应力一.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)2020/4/15第3章扭转2020/4/15第3章扭转1.表面变形情况：(a)各圆周线的大小、形状和间距不变，仅绕轴线作相对转动；(b)纵向线倾斜了一个角度。平面假设——变形后横截面仍保持为平面。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)变形几何关系一.圆柱扭转横截面上的应力2020/4/15MM第3章扭转2.切应变随点的位置的变化规律xρdd2020/4/15eMeMdcababRdoodxdcbaadaadxdR根据变形后横截面任为平面、半径任为直线的假设，求矩圆心为处的切应变：第3章扭转2020/4/15第3章扭转xρdd式中——相对扭转角沿杆长的变化率，常用'来表示，对于给定的横截面为常量。xdd可见，在横截面的同一半径r的圆周上各点处的切应变均相同；与成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dGG'DD'aadxAE2020/4/15第3章扭转xGGdd(2)物理关系由剪切胡克定律G知此式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化。空心圆轴切应力分布实心圆轴切应力分布2020/4/15maxT圆周上任一点都是危险点maxT第3章扭转(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。AAd2dTAA切应力计算公式pddGITxAAId2p以代入上式得：TAxGAddd2即2020/4/15dATppITGITGρ（3.8）第3章扭转pppmaxWTRITITRpITTmaxmaxd抗扭截面系数，单位为m3横截面周边上各点处(=R)的最大切应力为TmaxmaxdDPWTmax极惯性矩扭矩二.最大扭转切应力2020/4/15第3章扭转d实心圆截面32πdπ24203dd二.圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp16π2/3ppddIWAAId2p2020/4/150d324DIP16π3pDW第3章扭转思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？33p116πDW空心圆截面DdDdDAIDdA其中44442232p132π32πdπ2d4344pp116π16π2/DDdDDIW2020/4/15dD第3章扭转解：（1）内力分析AB段:BC段:2020/4/15ABCeAMeBMeCM2112mNMTeA.1001mNMTeC.2002xT[补充例题]轴左段为实心圆截面，d=20mm，右段为空心圆截面，d=15mm、D=25mm。，mNMMeBeA.100mNMeC.200，试计算轴内的最大扭转切应力。第3章扭转（2）应力分析mNdTWTt331max,110201001616])10251015(1[)1025(20016)1(164333432max,2mmmNDTWTt2020/4/152ABC2AMBMCM11MPa7.63Pa71037.6Pa71049.7MPa9.74第3章扭转低碳钢扭转破坏断口2020/4/15第3章扭转铸铁扭转破坏断口2020/4/15第3章扭转思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？2020/4/15第3章扭转2020/4/15三、强度条件][tmaxmaxWT强度校核][tmaxWT设计截面][maxtTW][tmaxWT确定许可载荷应用第3章扭转[补充例题]图示阶梯空心圆轴，MA=150N.m,MB=50N.m，MC=100N.m,[]=90MPa。试校核该轴的强度。解：(1)求AB与BC段的扭矩AB段：T1=MA=150N·mBC段：T2=Mc=100N·m2020/4/15ABCAMBMCM182418221122mN.150mN.100第3章扭转(2)强度校核4113111max,)(1[16DdDT4223222max,)(1[16DdDT故该轴的扭转强度符合要求。aMPmmmmmmmmN8.88])2418(1[)24().10150(16436aMPmmmmmmmmN7.86])2218(1[)22(.1010016436第3章扭转[例3.2题]图示传动轴，kNPkNP98.2,756.031min,/5.183rn材料为45钢，。MPa40][试根据强度要求确定轴的直径。解:(1)求外力矩nPMe119549mNmN.3.39.)5.183756.09549(nPMe339549mNmN.155.)5.18398.29549(xmNT./(2)作扭矩图3.39155mNT.155max123m3.0m4.01eM2eM3eM第3章扭转(3)强度校核tWT][163maxDT故有3max][16TDmPamN0270.0)1040(.1551636可见,按强度要求可取。mmD27第3章扭转[例3-3]汽车传动轴。T=1.5kN.m，[]=60MPa，无缝钢管的D=90mm,d=85mm,试校核轴的强度。若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较实心轴和空心轴的重量。解：(1)空心轴强度校核2020/4/15tWTDdDWt16)(44)1090(1610)8590(341244mm36103.29m363103.29.105.1mmN][2.51102.516MPaPa故轴满足强度条件。第3章扭转(2)确定实心与空心圆轴的重量比21AA2020/4/15tWTPamDmN63313102.51.)105.1(16由此求出mmmD530530.01222110.5344mmDA222222)8590(44)(mmdDA31.00.53)8590(