经典的微积分习题库

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1习题1—21.确定下列函数的定义域:(1)912xy;(2)xyaarcsinlog;(3)xysin2;(4))32(log213xxya;(5))4(log21arccos2xxya2.求函数)0(0)0(1sinxxxy的定义域和值域。3.下列各题中,函数)(xf和)(xg是否相同?(1)2)(,)(xxgxxf;(2)2sin21)(,cos)(2xgxxf;(3)1)(,11)(2xxgxxxf;(4)0)(,)(xxgxxxf。4.设xxfsin)(证明:2cos2sin2)()(xxxxfxxf5.设5)(2bxaxxf且38)()1(xxfxf,试确定ba,的值。6.下列函数中哪些是偶函数?哪些是奇函数?哪些是既非奇函数又非偶函数?(1))1(22xxy(2)323xxy;(3)2211xxy;(4))1)(1(xxxy;(5)1cossinxxy(6)2xxaay。7.设)(xf为定义在),(上的任意函数,证明:(1))()()(1xfxfxF偶函数;(2))()()(2xfxfxF为奇函数。8.证明:定义在),(上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。9.设)(xf定义在),(LL上的奇函数,若)(xf在),0(L上单增,证明:)(xf在)0,(L上也单增。10.下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数,指出其周期:(1))2cos(xy(2)xy4cos;(3)xysin1;(4)xxycos;(5)xy2sin(6)xxytan3sin。11.下列各组函数中哪些不能构成复合函数?把能构成复合函数的写成复合函数,并指出其定义域。(1)txxysin,3(2)2,xuayu;(3)23,log2xuuya;(4)2sin,xuuy(5)3,xuuy(6)2,log2xuuya。12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1)321)1(xy(2)2)1(3xy;2(3))13(sin2xy(4)32coslogxya。13.求下列函数的反函数:(1)xysin2;(2))2(log1xya;(3)122xxy。习题1—31.利用数列极限定义证明:如果Aunnlim,则||||limAunn,并举例说明反之不然。习题1—41.设)1(1)1()(2xxxxxf(1)作函数)(xfy的图形;(2)根据图形求极限)(lim1xfx与)(lim1xfx;(3)当1x时,)(xf有极限吗?2.求下列函数极限:(1)||lim0xxx;(2)||lim20xxxx;(3)||lim20xxxx。3.下列极限是否存在?为什么?(1)xxsinlim;(2)xxarctanlim;(3)xx1coslim0;(4))e1(limxx;(5)1|1|lim1xxx;(6)xxelim。习题1—5求下列极限1.)1(1321211limnnx;2.22221limnnnnx;3.35lim22xxx;4.112lim221xxxx;5.hxhxh220)(lim;6.11lim31xxx。习题1—61.求下列极限:(1))0(sinsinlim0bbxaxx;(2)30sintanlimxxxx;(3)xxxxsincos1lim0;(4)xxxxsintan2lim0;(5)xxxarcsinlim0;(6)xxx21lim;(7)ttt11lim;(8)311limxxx;(9)xxxcot0)tan1(lim;3(10)xxaxaxlim;(11)122212limxxxx;(12)nxn211lim。2.利用极限存在准则证明:(1)11211lim222nnnnnx;(2)数列222,22,2,…的极限存在;(3)111lim2xxx。习题1—71.当n无限增加时,下列整标函数哪些是无穷小?(1)21n;(2)1)1(nn;(3)nn12;(4)nncos1。2.已知函数xxxxxxxe,e),1ln(,1,1,sin2(1)当0x时,上述各函数中哪些是无穷小?哪些是无穷大?(2)当x时,上述各函数中哪些是无穷小?哪些是无穷大?(3)“x1是无穷小”,这种说法确切吗?3.函数xxycos在),(是是否有界?又当x地,这个函数是否为无穷大?为什么?4.求下列极限(1)1000!lim2nnx;(2)2lim2nnnx;(3)nnxbbbaaa2211lim;)1||,1|(|ba(4)113)2(2)2(limnnnnx;(5)1lim31xxx;(6)15614lim2221xxxx;5.求下列极限:(1)xxxxsinelim;(2)xxx1coslim0;(3)nnnsinlim;(4)xxxarctanlim;(5)xxxarctanelim;(6)xxxarctanelim。6.下列各题的做法是否正确?为什么?(1))9(lim)9(lim99lim92929xxxxxxx(2)011lim11lim)1111(lim21121xxxxxxx4(3)01limcoslimcoslimxxxxxxx。7.证明:当0x时,xx~arcsin,xx~arctan。8.利用等价无穷小的性质,求下极限:(1)xxx3sin2sinlim0;(2)xxxarctan2sinlim0;(3)mnxxx)(sinsinlim0(nm,为正整数);(4)xxxcos1lim0。9.当1x时,233xx是1x是多少阶无穷小?10.当x时,114xx是x1是多少阶无穷小?11.当x时,xx1sin1是x1是多少阶无穷小?习题1—81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)xxxf)(;(2))21(2)10()(2xxxxxf;(3))1|(|)1|(|)(2xxxxxf;(4))0(1)0(||)(xxxx。2.指出下列函数的间断点,说明这些间断点属于哪一类?如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续。(1)23122xxxy;(2)xnytan;(3)xy1cos2。3.a为何值时函数)21()10(e)(xxaxxfx在[0,2]上连续?4.讨论函数xxxxfnnn2211lim)(的连续性,若有间断点,判断共类型。习题1—91.设)(xf连续,证明|)(|xf也是连续的。2.若)(xf在],[ba上连续,且在],[ba上)(xf恒为正,证明:)(1xf在],[ba上迹连续。3.求下列极限:5(1)52lim20xxx;(2)34)2(sinlimxx;(3)xxxxsin3sin5sinlim0;(4)axaxaxsinsinlim;(5))0(limabxaabxbx;(6)xxx)31ln(lim0;(7)xxxx20sinlim;(8)xxthlim;(9))12(lim3xxx;(10)422lim22xxxx;(11)1limxxxxx(12)xaxaxln)ln(lim0。习题1—101.证明:方程135xx在区间(1,2)上至少有一个根。2.设)(xf在闭区间[a,b]上连续,nxxx,,,21是[a,b]内的n个点,证明:],[ba,使得nxfxfxffn)()()()(21习题2—11.用导数定义求下列函数的导数:(1)baxy(ba,是常数);(2)xxfcos)(;(3)xy1。2.下列各题中假定)(0xf存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表示什么?(1)Axxfxxfx)()(lim000;(2)Axxfx)(lim0,其中,0)0(f;(3)Ahhxfhxfh)()(lim000。3.利用幂函数求导数公式,求下列函数的导数:(1)xxy2;(2)326.1xxy;(3)2xxy;(4)532xxxy。4.已知函数xxf1)(,求)2(),1(ff。5.已知函数xxf)(,求)4(),2(ff。6.自由落体运动221gts(g=9.8米/秒2)。(1)求在从5t秒到(tt)秒时间区间内运动的平均速度,设1t秒,1.0秒,60.001秒;(2)求落体在5秒末的瞬时速度;(3)求落体在任意时刻t的瞬时速度。7.函数在某点没有导数,函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线?举例说明。8.设函数)1()1()(2xbaxxxxf为了使函数)(xf在1x处连续可导,a,b应取什么值?9.求曲线xysin在x及32x处的切线斜率。10.求曲线3xy上取横坐标为11x及32x的两点,作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?12.证明函数数)0(0)0(1sin)(xxxxxf在0x处连续,但不可导。13.函数|sin|xy在0x处的导数是否存在,为什么?14.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性:(1))0(0)0(1sin)(2xxxxxf在点0x处;(2)11xxy在点1x处;(3)|2|xy在点2x处。习题2—21.求下列函数的导数:(1)cbxaxy2;(2))2(2xxy;(3))1()1()(2vvvf;(4)xxycos2;(5)sin)(;(6)xayx23;(7)211xxy;(8)ttssin1sin1;(9)ttysin)sec2(。2.求下列函数在指定点处的导数:(1)0111)(axaxaxaxfnnnn,求)0(f,)1(f;(2))2sin(2xxy,求)2(y。3.求下列函数的导数(其中x,t是自变量,ba,是大于零的常数):(1)221xay;(2)222axxy;(3)xy2ln1;(4)2tanxy;(5)xye1;(6)2cosxy;(7)21121xxy;(8)2cot3sin2xxy;(9))12(sin2xy;7(10)21sinxy;(11)321cotxy;(12)22sinexxy;(13))(coscos22xy;(14)xxy1sin2;(15)xxy1tan1;(16)xxyln/2;(17)tty33(18))21ln(2xxxy;(19)xy3sine;(20))(ln23xy;(21))]ln[ln(lnty;(22)xy1arccos;(23)xy31arccos;(24)xxyarctan;(25)21arccosxxxy(26)21arcsinxxy;(27)xxye1arccos2;(28)xxy11arcsin;(29))1ln(arctan2xy;(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